Dada f ( x , y ) =   0 ,   s e   ( x , y )   =   ( 0,0 ) ; e f ( x , y ) = 2 x y 2 x ² + 2 y ²

  1. Determine se f é contínua na origem.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos pede para determinar se a função f(x,y) de duas variáveis, definida pela expressão

2 x y 2 x ² + 2 y ²

Para todos os pontos do plano (exceto na origem, onde ela é nula) é contínua. Bem, do cálculo de uma variável, a gente sabe que, para que uma função seja contínua em um ponto x 0 , o seu limite conforme a variável se aproxima de x 0 deve ser igual ao valor da função em x 0 . Podemos generalizar essa ideia para uma função de duas variáveis e verificar se isso acontece para a nossa f(x,y) na origem, onde, por construção, a função é nula.

Então, na realidade, tudo que a questão quer saber é qual é o limite de 2 x y 2 x ² + 2 y ² quando nos aproximamos da origem e se ele é igual ao valor da função nesse ponto. Então vamos lá calcular o limite!

Passo 2

Mas como a gente calcula o limite de uma função de duas variáveis, exatamente? Para o caso de uma única variável, parece mais simples, pois existe um número finito de maneiras de abordar um ponto no caso unidimensional: ou você aborda o ponto de interesse pela esquerda ou pela direita. Mas como a gente faz isso quando podemos nos aproximar de um ponto no plano de infinitas maneiras?

Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo para qualquer trajetória escolhida. Então vamos tentar algumas curvas e ver se o limite existe para elas! Vamos começar com retas y = ± x . Se nos aproximamos da origem por retas, podemos reescrever a função f(x,y) como

f ( x , y ) = 2 x y 2 x ² + 2 y ² =   ± 2 x ² 4 x ² = ± 2 x ² 2 x = x

Bem, então no limite em que x vai a zero, se percorrermos pela reta, temos que a função tende a zero. Poderíamos também, nos aproximar da origem por uma parábola y = x ² e obteríamos o mesmo resultado

f ( x , y ) = 2 x y 2 x ² + 2 y ² = 2 x ³ 2 x ² + 2 x ⁴ = 2 x ³ x 2 + 2 x ² = 2 x ² 2 + 2 x ²

Novamente, no limite em que nos aproximamos da origem, temos que f(x,y) tende a zero. No entanto, provar que o limite existe para alguns caminhos e que ele é igual ao valor definido da função na origem não prova que ela é contínua nesse ponto, apesar de ser bastante sugestivo.

Passo 3

Para verificar que a função de fato tende a zero, precisamos que exista um ε > 0 , tal que para qualquer ponto da origem a uma distância menor que δ > 0 , o valor da função f(x,y) menos seu valor na origem seja menor que ε . Podemos escrever isso na forma

Se 0 < x ² + y ² < δ , então 2 x y 2 x ² + 2 y ² - 0 < ε

Ou seja,

Se 0 < x ² + y ² < δ , então 2 x y 2 x ² + 2 y ² < ε

Como o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero, temos que

( x + y ) ² = x ² + y ² + 2 x y ≥ 0

Então, em módulo, 2xy é sempre menor que ou igual à x²+y².

x ² + y ² ≥ 2 x y

Assim, tirando a raíz dos dois lados dessa inequação, obtemos

2 x y ≤ x ² + y ² ⇒ 2 x y x ² + y ² ≤ 1

Logo, se multiplicarmos a última inequação por 2 x y , obtemos

2 x y x ² + y ² ≤ 2 x y ≤ x ² + y ²

Então, utilizando o primeiro termo e o último termo da inequação acima, dividindo-os por 2 e, lembrando que x ² + y ² < δ , podemos escrever a seguinte inequação

1 2 2 x y x ² + y ² - 0 ≤ 1 2 x ² + y ² < 1 2 δ

Então, temos que a nossa função em um ponto muito próximo da origem menos o seu valor na origem é sempre menor que 1 2 δ . Portanto, se escolhermos δ = 2 ε , obtemos que

1 2 2 x y x ² + y ² - 0 < ε

Assim, podemos fazer nossa função ser tão próxima de zero quanto quisermos conforme nos aproximamos da origem. Então:

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 2 x y 2 x ² + 2 y ²   =   f ( 0,0 ) = 0

Resposta

A função é contínua na origem.

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1