Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

a. Se f : R → R é tal que | f | é contínua em x = 0, então f é contínua em x = 0.

b. Se f e g são funções descontínuas em x = 0, então a função f g é descontínua em x = 0.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que decidir se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

a. Se f : R → R é tal que | f | é contínua em x = 0, então f é contínua em x = 0.

b. Se f e g são funções descontínuas em x = 0, então a função f g é descontínua em x = 0.

Vamos analisar e verificar se encontramos contra-exemplos.

Passo 2

Primeiro vamos resolver o item a. Para isso vamos lembrar da função escada do tipo:

f ( x )   = { 1 ,   s e   x > =   0 ;   - 1 ,   s e   x < 0 .

temos que em x = 0 essa função é descontínua, pois seus limites laterais são diferentes, porém se avaliarmos o seu módulo:

| f ( x ) |   = { 1 ,   s e   x > =   0 ;   - ( - 1 ) ,   s e   x < 0 .

então

| f ( x ) |   = 1 , para qualquer x .

então em x 0 = 0 o módulo é contínuo. Assim, a afirmação do item a é falsa.

Passo 3

Agora,vamos analisar a afirmação do item b. Também vamos olhar para duas funções escada:

f ( x )   = { 1 ,   s e   x > =   0 ;   - 1 ,   s e   x < 0 ;

g ( x )   = { - 1 ,   s e   x > =   0 ;   1 ,   s e   x < 0 .

temos que em x = 0 essas funções são descontínuas, pois seus limites laterais são diferentes. Mas se tomarmos o produto dessa funções:

f ( x ) g ( x )   = { 1 ( - 1 ) = - 1 ,   s e   x > =   0 ;   ( - 1 ) 1 = - 1 ,   s e   x < 0 .

f ( x ) g ( x ) = - 1 , para qualquer x .

então em x 0 = 0 o produto f ( x ) g ( x ) é contínuo. Assim, a afirmação do item b é falsa.

.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  1. F
  2. F

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1