4. Defina a função f :   R →   R por

f x = 2 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2     s e   x < 2 12 π                                                                                                     s e   x = 2 b sin ⁡ π x - 2 π x - 2                                                         s e   x > 2

Sabendo que f é contínua em x = 2 , é correto afirmar que o valor do produto a b é:

  12 π       24 π       6 π       9 π       36 π       4 π       3 π       2 π

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar que para função ser continua temos que respeitar a seguinte condição:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = f 2

Repara que estamos estudando a função em torno de 2 , pois ele é onde a função muda de comportamento.

Mas continuando, podemos escrever então que,

lim x → 2 - ⁡ 2 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2 = lim x → 2 + ⁡ b sin ⁡ π x - 2 π x - 2 = 12 π

Agora vamos resolver cada limite e achar quem é a e quem é b .

Bora lá!

Passo 2

Começando por,

lim x → 2 - ⁡ 2 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2

Note que podemos escrever nosso limite assim:

lim x → 2 - ⁡ 2 a x + lim x → 2 - ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2

O primeiro limite fica assim:

lim x → 2 - ⁡ 2 a x = 4 a

Já no segundo teremos uma indeterminação do tipo 0 / 0 dentro do cosseno:

lim x → 2 - ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2 = 0 cos ⁡ 0 0

Mas repara que temos que

x 2 - 4 = x - 2 x + 2

Com isso, podemos escrever nosso limite assim,

lim x → 2 - ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x - 2 ( x + 2 ) x - 2

Simplificando, ficamos com

lim x → 2 - ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x + 2

Substituindo o x por 2

lim x → 2 - ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x + 2 = 0 cos ⁡ 4 = 0

Juntando tudo, ficamos com

lim x → 2 - ⁡ 2 a x + lim x → 2 - ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2 = 4 a + 0

Mas lembra que,

lim x → 2 - ⁡ 2 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2 = 12 π

Então,

4 a = 12 π

a = 3 π

Agora vamos para o próximo limite!

Passo 3

Temos agora,

lim x → 2 + ⁡ b sin ⁡ π x - 2 π x - 2

Que podemos reescrever assim,

lim x → 2 + ⁡ b sin ⁡ π x - 2 x - 2

Opaaaa! Isso está com cara de Limite Fundamental Trigonométrico. Para quem não lembra, ele tem essa cara aqui:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Mas repara que no nosso limite temos x → 2 + , então vamos fazer uma mudança de variável

u = x - 2

u → 0 +

Com isso, ficamos com

lim u → 0 + ⁡ b   sin ⁡ π u u

Mas agora temos que dentro do seno temos π u e no denominador apenas u . Então vamos multiplicar com π em cima e embaixo

lim u → 0 + ⁡ b π  sin ⁡ π u π u = π b lim u → 0 ⁡ sin ⁡ π u π u

Aplicando o Limite Fundamental Trigonométrico, ficamos com

π b lim u → 0 ⁡ sin ⁡ π u π u = π b   1 = π b

Mas lembra que,

lim x → 2 + ⁡ b sin ⁡ π x - 2 π x - 2 = 12 π

Então,

π b = 12 π

b = 12

Passo 4

Já descobrimos quem é a e b , mas a questão pede o produto deles. Logo:

a b = 3 π 12 = 36 π

Prontinho!

Resposta

36 π

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1