Determina a , b para que a função

f x =   a x + 2   ,                                         x > 1 x 2 - 4 x + 1   ,     x < 1 b   ,                                                           x = 1

seja contínua.

Passo 1

Olá gente bonita do Responde Aí, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos uma função f que é definida por partes da seguinte forma:

f x =   a x + 2   ,                                         x > 1 x 2 - 4 x + 1   ,     x < 1 b   ,                                                           x = 1

Tá vendo que tem duas constantes a e b nessa definição? Então, precisamos determiná-los de modo que f seja contínua.

Vocês lembram qual é a condição de continuidade?

Pra uma função ser contínua deve ser verdade pra qualquer ponto do seu domínio que:

lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = f ( x 0 )

Massa! Em nossa f , nos intervalos x < 1 e x > 1 , f é definida por uma parábola e uma reta, dois polinômios que possuem continuidade em todos os seus pontos. O grande problema aqui é em x = 1 , pois é onde ocorre a mudança na definição da função.

Então, vamos analisar a continuidade nesse ponto, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, pra que f seja contínua em x = 1 , precisamos que:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x - 1 + ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Tranquilo? Vamos calcular cada um desses termos!

lim x → 1 - ⁡ f ( x )

x tende a 1 por valores menores do que 1 , assim f vale:

f x = x 2 - 4 x + 1

Substituindo:

lim x → 1 - ⁡ ( x 2 - 4 x + 1 )

Substituindo o valor que x está tendendo, dentro da função, temos:

lim x → 1 - ⁡ ( x 2 - 4 x + 1 ) = 1 2 - 4 ⋅ 1 + 1

=   - 2

Agora, fazendo x → 1 + , vamos ter:

lim x → 1 +   ⁡ f ( x )

Como x tende por valores maiores do que 1 , vem que:

lim x → 1 +   ⁡ a x + 2

Substituindo:

lim x → 1 +   ⁡ a x + 2 = a + 2

Massa!

E, por último, temos que:  

f 1 =   b

Perfeito! Vamos agora juntar tudo na equação grande.

Passo 3

Como vimos no passo anterior, para f ser contínua em x = 1 , precisa ser verdade que:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x - 1 + ⁡ f x = f 1

Substituindo os resultados que encontramos no passo anterior:

- 2 = a + 2 = b

Daí, na primeira igualdade temos:

- 2 = a + 2

∴ a = - 4

E, temos também:

b = - 2

Prontinho! Conseguimos determinar os nossos parâmetros a e b .

Valeeeeu pessoal 😊

Resposta

a = - 4

b = - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1