1. Determine, caso possível, as constantes a ,   b ∈ R tais que f ( x ) seja contínua em x = 0 .
  2. f x = x + a 2 - 4 a - arctan ⁡ 11 x ,       x < 0 a - 1 ,                                         x = 0 sin ⁡ b x ln ⁡ 1 + 100 x ,       x > 0

  3. Encontre a equação da reta normal à curva y = 2 x - 3 e paralela à reta 9 x + 3 y - 5 = 0

Passo 1

Galerinha do bem, falaí! Saiba que quando falamos de uma inclinação α com curvas, estamos tratando de d y d x = tan ⁡ α , com duas ressalvas. Se uma curva é paralela a outra em algum outro estas possuem a mesma inclinação e, portanto, d y 1 d x = tan ⁡ α =   t a n   β = d y 2 d x . Contudo, se são normais ou perpendiculares em algum ponto, temos que:

d y 1 d x ⋅ d y 2 d x = tan ⁡ α ⋅ tan ⁡ α + π 2 = - 1

Bem, queremos determinar uma reta y 3 = a x + b que seja paralela a 9 x + 3 y 2 - 5 = 0 . Derivando as equações:

d y 3 d x = a                                       9 + 3 d y 2   d x = 0

Assim,

d y 3 d x = a = - 3 = d y 2 d x ⇒ a = - 3

Passo 2

Essa mesma reta y 3 = - 3 x + b é normal a curva y 1 = 2 x - 3   . Logo, são perpendiculares no ponto de interseção. Neste ponto:

d y 1 d x ⋅ d y 3 d x = - 1

⇒ 2 2 2 x - 3 ⋅ - 3 = - 1

⇒ 2 x - 3 = 3

⇒ 2 x - 3 = 9

⇒ x = 6

Assim, esse ponto de interseção é x , y 1 = ( 6,3 ) o qual pertence a y 3 , logo:

y 3 = - 3 x + b ⇒ 3 = - 3 ⋅ 6 + b

⇒ b = 24

Resposta

Conclui-se que y 3 = - 3 x + 24 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1