Determine, se existir, o valor L ∈ R para que cada uma das funções abaixo seja contínua

a ) f x = sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ ( x + 2 ) x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ x + 2 x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

E quer saber se existe algum valor de L que torne essa função contínua

E agora, você lembra do que uma função precisa para que ela seja contínua?

Uma função contínua em um ponto é aquela em que nesse ponto os limites bilaterais são iguais entre si e também igual à função nesse ponto

E uma função contínua é aquela em que isso acontece em todo seu domínio!

Sabemos também que nossa função é definida por partes e justamente na parte que dá “ruim” ela se quebra! Então precisamos ver para qual valor de L os limites das duas partes ficam iguais

Tranquilo? Agora o que nos resta é calcular os limites!

Bora lá!

Passo 2

Começando pela parte da função quando x ≠ 0

sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ x + 2 x

Calculando o limite pra quando x → 0 temos

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ ( x + 2 ) x = 0 0

0 / 0 ou ∞ / ∞ podemos aplicar a regra de L’Hopital! Ela nos diz que o limite de uma razão é igual ao limite da derivada das partes dessa razão, individualmente. Beleza?

Derivando em cima e embaixo temos

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ x + 2   ' x ' = lim x → 0 ⁡ 2 x . cos ⁡ ( x 2 + 2 ) - cos ⁡ ( x + 2 ) 1

Agora avaliando novamente o limite temos

2 . 0 . cos ⁡ ( 0 2 + 2 ) - cos ⁡ 0 + 2 = - cos ⁡ 2

Beleza? Agora vamos ver pelo outro lado!

Passo 3

A outra parte da função, quando avaliada no limite, precisa dar o mesmo valor!

Nossa função

f x = sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ x + 2 x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

Se x = 0 , temos

f x = L

Assim no limite

lim x → 0 ⁡ L = L

E para ser contínua os limites precisam ser iguais. Resgatando do passo anterior o resultado do outro limite

L = - cos ⁡ 2

E é isso! Até a próxima!

Resposta

L = - cos ⁡ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1