Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua

a )   f x = 3 - x ,         s e   x < 1 4 ,                     s e   x = 1 x 2 + 1 ,     s e   x > 1

Passo 1

E aí, tudo bem? O problema deu uma função definida por partes

f x = 3 - x ,         s e   x < 1 4 ,                     s e   x = 1 x 2 + 1 ,     s e   x > 1

x a função f ( x ) é descontínua. Você lembra de os critérios para uma função ser contínua?

São esses três:

  1. Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

Então a ideia é usar esse conceito de continuidade para saber se onde ela é “quebrada” tem uma descontinuidade! Se os limites laterais forem diferentes, nesse ponto a função é descontínua!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte:

f x = 3 - x ,         s e   x < 1 4 ,                     s e   x = 1 x 2 + 1 ,     s e   x > 1

Para uma função ser contínua

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x )

Vamos verificar se isso ocorre?

Sendo assim, vamos achar os limites laterais e substituir

lim x → 1 + ⁡ f x = 3 - 1 = 2

lim x → 1 - ⁡ f x = 1 2 + 1 = 2

Ora ora ora! Eles são iguais! Então há limite quando x → 1 , esse limite vale 2 !

Mas apenas esse critério não é suficiente para que a função seja contínua!

Precisamos que o limite seja diferente da função no ponto! Mas

f 1 = 4

E agora? O que isso significa?

Passo 3

Os critérios para continuidade são três:

  1. Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. E os resultados de ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

Acabamos de ver que o ( 1 ) e ( 2 ) são satisfeitos, mas o ( 3 ) não!

Significa que a função apresenta uma descontinuidade em x = 1

E como os limites laterais são iguais entre si e diferem apenas do valor da função no ponto, temos uma descontinuidade removível

Caso algum limite tivesse resultado em um , seria uma descontinuidade do tipo “infinita

E caso de haver os limites laterais e eles não coincidirem, a descontinuidade é do tipo “salto”

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

x = 1   ( r e m o v í v e l )

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1