7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

d) i x = 1 x - 5 , s e   x ≠ 5 0 , s e   x = 5

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Esse é um problema de continuidade em que temos que descobrir em quais pontos de x a função i x é descontínua.

No caso, a função i x é definida por partes onde quando x é diferente de 5 a função assume o comportamento de 1 x - 5 mas quando x é igual a 5 a função é constante e igual a 0 .

Consegue imaginar algum ponto em que a função é descontínua?? 🤔🤔

Uma função de uma variável é contínua quando seus limites laterais são iguais e igual ao valor que a função assume no ponto em questão.

Em outras palavras, uma função é continua quando ela não possui buracos ou escadas na sua imagem.

Entendeu? Vamos analisar essa função i então. 😁

Passo 2

Como vemos no passo anterior, os limites laterais da função devem ser iguais e tender à imagem de i no ponto.

No caso, a suspeita é o ponto x = 5 já que é o ponto em que a função muda de comportamento.

Ou seja, se a função é contínua, então

lim x → 5 - ⁡ 1 x - 5 = 0 = lim x → 5 + ⁡ 1 x - 5

O limite de 1 x - 5 quando x tende a 5 pela esquerda deve ser igual a 0 , que é o valor que a função assume em x = 5 e que deve ter igual ao limite de 1 x - 5 quando x tende a 5 pela direita.

Aproximando pela esquerda, assumimos valores infinitesimalmente menores que 5 , ou seja x = 4,8 , x = 4,9 e x = 4,99 .

Perceba que quanto mais próximo x fica de 5 pela esquerda, menor é o valor da função. Ou seja, para valores infinitesimais menores que 5 , a função tende a valores tão grandes em módulo, mas com sinais negativos que podemos dizer que tende a - ∞

Logo o limite de 1 x - 5 para x → 5 - é igual a

lim x → 5 - ⁡ 1 x - 5 = - ∞

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de 1 x - 5 quando x tende a 5 pela direita, ou seja, para valores infinitesimalmente maiores que 5 .

lim x → 5 + ⁡ 1 x - 5

Vamos analisar a imagem da função para x = 5,1 , x = 5,01 e x = 5,001 .

Quase da mesma forma que na outra aproximação, aproximando a 5 pela direita, a função 1 x - 5 assume valores muito grandes e positivos e quanto mais próximo de 5 , maior é a imagem.

Portanto, podemos dizer que o limite de 1 x - 5 para x → 5 + é igual a

lim x → 5 + ⁡ 1 x - 5 = ∞

Dessa forma, vemos que os três resultados foram divergentes

lim x → 5 - ⁡ 1 x - 5 = 0 = lim x → 5 + ⁡ 1 x - 5

- ∞ = 0 = ∞

O que não é possível, logo a função i x é descontínua em x = 5 .

Para matar a curiosidade, podemos observar o gráfico da função.

Viu só? A descontinuidade nesse caso é muuuito grande...

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

i x é descontinua em x = 5 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1