7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

b) g x = 1 x + 1 , s e   x > - 1 1 s e   x = - 1 x + 1 s e   x < - 1

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos uma função g x que é definida por partes onde quando x > - 1 , a função assume 1 x + 1 , já quando x = - 1 a função é igual a 1 e por último, quando x < - 1 a função assume x + 1 .

Com essas informações, temos que verificar para quais valores de x a função g x é descontínua.

Tem ideia de como fazer isso?? 🤔🤔

Quando uma função é definida por partes, dizemos que a função é contínua quando a transição de uma parte para outra ocorre de forma que não gera uma indeterminação ou que infinitesimalmente as proximidades do ponto em que ocorre a transição, a função gera a mesma imagem.

Entendeu alguma coisa?? 🤔🤔

Relaxa, vamos ver na prática!

Passo 2

O que temos que verificar é se a função g tende a 1 quando x tende a - 1 já que esse é o ponto em que as proximidades mudam de comportamento. Entendeu?

Por exemplo, quando temos a primeira mudança é quando x passa de > - 1 para = 1 , ou seja, de 1 x + 1 para 1 .

Se a função for continua, os limites de ambas as partes são iguais

lim x → - 1 - ⁡ 1 x + 1 = l i m x → - 1 + 1

No caso do limite de 1 x + 1 , x tende a - 1 pela esquerda, ou seja, o denominador x + 1 tende a - 0 e sempre que temos uma constante dividida por um número infinitesimalmente pequeno e negativo, o limite tende a - ∞ , logo

lim x → - 1 - ⁡ 1 x + 1 = - ∞

Já para o limite de 1 , sabemos que a propriedade de limites de uma função constante é que o resultado é a própria constante, ou seja

l i m x → - 1 1 = 1

Com isso, temos que

- ∞ = - 1

O que não é possível.

Logo em x = - 1 pela esquerda, a função g é descontínua.

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer essa mesma analise para a outra transição de g , no caso, quando x passa de = - 1 para < - 1 .

Nesse momento, a função passa de 1 para x + 1 , da mesma forma, se essa transição for contínua, ou limites devem ser iguais

lim x → - 1 ⁡ 1 = l i m x → - 1 + x + 1

Como vimos no passo anterior, o limite de uma constante é a própria constante.

lim x → - 1 ⁡ 1 = 1

Já substituindo - 1 em x + 1 , vamos obter que o limite de x + 1 quando x tende a - 1 pela direita é de

l i m x → - 1 + x + 1 = - 1 + 1 = 0

Logo g tende a 0 quando x se aproxima a - 1 pela direita, o que é diferente de 1 que encontramos para x = - 1 .

Assim, se g é descontínua em x = - 1 - e em x = - 1 + , então g é descontínua em x = - 1

Portanto, o valor de x em que a função g é descontínua é x = - 1 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x = - 1

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