7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

c) h x = x - 3 , s e   x ≠ 3 2 , s e   x = 3

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos uma função h x que é definida por partes em que quando x ≠ 3 , a função se comporta como a função x - 3 , já quando x = 3 a função é constante e igual a 2 .

Dessa forma, temos que obter os pontos em x que a função h x é descontínua, se existirem.

Tem ideia de como vamos obter isso? 🤔🤔

Dizemos que uma função de uma variável é descontínua quando os limites laterais da função em um ponto divergem entre si ou do valor que a função assume.

Em outras palavras, uma função bidimensional é continua se não tiver buracos ou degraus em sua imagem!

E aí, acha que essa função h x é contínua? 😁

Bora ver!

Passo 2

nessa função, a mudança de comportamento acontece em x = 3 já que em pontos diferentes h x tem o mesmo comportamento, então nossa principal suspeita é nesse ponto.

Em x = 3 a função assume a imagem 2 , então se h x for continua nesse ponto, os limites laterais de x - 3 devem ser iguais a 2 . Ou seja

lim x → 3 - ⁡ x - 3 = 2 = lim x → 3 + ⁡ x - 3

Para o limite de x - 3 nos aproximando de x = 3 pela esquerda, ou seja, para valores infinitesimalmente menores que 3 , temos

lim x → 3 - ⁡ x - 3

Perceba que quanto mais nos aproximamos de 3 , menor o valor da função

Por exemplo, em x = 2,9 , x = 2,95 e x = 2,99 temos

Dessa forma, x - 3 se aproxima de 0 , logo o limite de x - 3 se aproximando de 3 pela esquerda, é igual a 0

lim x → 3 - ⁡ x - 3 = 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo só que nos aproximando pela direita, ou seja, por valores infinitesimalmente maiores que 3 .

lim x → 3 + ⁡ x - 3

Agora fazemos para x = 3,1 , x = 3,05 e x = 3,01 , cada vez nos aproximando mais de x = 3

Perceba que quanto mais nos aproximando de x = 3 nesse caso, mais próximo de 0 nossa função assume.

Logo, o limite de x - 3 quando x tende a 3 pela direita é igual a 0 também

lim x → 3 + ⁡ x - 3 = 0

Juntando os resultados que obtemos, vemos que

0 = 2 = 0

A função é descontínua em x = 3 já que nesse ponto, a função vale 2 mas nos seus arredores a função tende a 0 .

Vamos dar uma olhada no gráfico que essa função forma.

Viu só?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

h x é descontínua em x = 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1