Determine, se existirem, valores de a ,   b para os quais a função abaixo seja contínua:

Passo 1

Eaew, beleza?

O enunciado nos dá a seguinte função

e quer que verifiquemos se existem a ,   b que garantam a continuidade desta função! Note que os possíveis locais de descontinuidade são x = - 1 e x = 1 , portanto, vamos tentar verificar se existem a , b tais que

l i m x → - 1 - f ( x ) = l i m x → - 1 + f ( x ) e l i m x → 1 - f ( x ) = l i m x → 1 + f ( x )

assim como

l i m x → 1 f ( x ) = f ( 1 ) e l i m x → - 1 f ( x ) = f ( - 1 )

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar com a possível descontinuidade em x = - 1 , se fizermos o limite pela esquerda, temos que os valores de x são menores que - 1 , portanto, o limite é da forma

l i m x → - 1 - f ( x ) = l i m x → - 1 - e x + 1 = e - 1 + 1

e, portanto, temos que

l i m x → - 1 - f ( x ) = 1

Agora, se analisarmos o limite pela direita, estamos considerando valores levemente maiores que x = - 1 , portanto, temos que

l i m x → - 1 + f ( x ) = l i m x → - 1 + 2 a x 2 = 2 a ( - 1 ) 2

ou seja, o limite resulta em

l i m x → - 1 + f ( x ) = 2 a

Portanto, temos que para que tenhamos a continuidade em x = - 1 , precisamos que a = 1 / 2 , pois então teríamos que

l i m x → - 1 - f ( x ) = l i m x → - 1 + f ( x ) = 1

e como, temos que

l i m x → - 1 f ( x ) = f ( - 1 ) = 1

a função é contínua neste ponto! Vamos analisar agora o outro ponto!

Passo 3

Agora, calculando o limite em x = 1 , estaremos considerando valores levemente menores que 1 , portanto, o limite se torna

l i m x → 1 - f ( x ) = l i m x → 1 - x 2 = 1

em que usei a = 1 / 2 . Agora, pela direita, temos valores levemente maiores que x = 1 , portanto, o limite se torna

l i m x → 1 + f ( x ) = l i m x → 1 + b + l n ( x ) = b + l n ( 1 )

como temos que l n ( 1 ) = 0 . Portanto, para termos que para manter a continuidade precisamos que b = 1 . De forma, que

l i m x → 1 + f ( x ) = l i m x → 1 - f ( x ) = 1

O enunciado não deixa claro se 1 pertence ao limite superior ou intermediário, mas isso é indiferente, para ambos, se a = 1 / 2 e b = 1 , temos que

l i m x → 1 f ( x ) = f ( 1 ) = 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a = 1 / 2 e b = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1