Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

a ) f x = sin ⁡ x 2 - 4 + 5 ,   s e   x > 2 x 2 + x - 6 x - 2 ,   s e   x < 2 5 ,   s e   x = 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função definida por partes

f x = sin ⁡ x 2 - 4 + 5 ,   s e   x > 2 x 2 + x - 6 x - 2 ,   s e   x < 2 5 ,   s e   x = 2

E pediu para determinar sobre a continuidade dela

E agora, você lembra de quais critérios a função precisa satisfazer para ser contínua?

Mas espera aí! Vamos lembrar com mais carinho do que é ser uma função contínua

Uma função contínua em um ponto é aquela em que nesse ponto os limites bilaterais são iguais entre si e também igual à função nesse ponto

E uma função contínua é aquela em que isso acontece em todo seu domínio!

Sabemos também que nossa função é definida por partes e que ela ‘quebra’ em 2 . Então precisamos analisar justamente nesse ponto! Todas as partes devem valer o mesmo valor para que ela seja contínua

No nosso caso precisamos achar 5 ! Em x = 2 a função assume esse valor!

Sendo assim, nossa missão é calcular os outros limites em torno de 2 e verificar se encontramos o mesmo valor!

Bora lá!

Passo 2

Vamos para a primeira parte da função, x > 2 :

lim x → 2 ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 + 5 = sin ⁡ 0 + 5 = 5

Ok! Achamos o valor 5 , precisamos fazer o limite da outra parte! Se for 5 também, então a função será contínua!

Tranquilo? Sendo assim nosso limite fica

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = 0 0

Achamos uma indeterminação! Vamos aplicar a regra de L’Hopital para verificar esse limite. Derivando em cima, embaixo, e avaliando novamente o limite:

lim x → 2 ⁡ 2 x + 1 1 = 2.2 + 1 = 5

Oba! Achamos o mesmo valor! Isso significa que nossa função é contínua

E é isso! Até a próxima!

Resposta

é   c o n t i n u a  

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1