Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

c ) f x = 1 + - 1 x 2 sin ⁡ π x ,   o n d e   x   é   o   m a i o r   i n t e i r o   m e n o r   o u   i g u a l   a   x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função definida por partes

f x = 1 + - 1 x 2 sin ⁡ π x

  o n d e   x   é   o   m a i o r   i n t e i r o   m e n o r   o u   i g u a l   a   x

E pediu para determinar sobre a continuidade dela

E agora, você lembra de quais critérios a função precisa satisfazer para ser contínua?

Mas espera aí! Vamos lembrar com mais carinho do que é ser uma função contínua

Uma função contínua em um ponto é aquela em que nesse ponto os limites bilaterais são iguais entre si e também igual à função nesse ponto

E uma função contínua é aquela em que isso acontece em todo seu domínio!

Sabemos também que nossa função é um produto de uma função contínua (o seno) em todo seu domínio, pelo valor de

1 + - 1 x 2

Se pegarmos um intervalo [ 0,1 ] , o menor número será 0 , o que nos dará como valor de função zero, já que

sin ⁡ ( 0 π ) = 0

Teremos um valor diferente de zero se x for ímpar múltiplo de 1 2 , se outra forma, teremos resultado nulo

Sendo assim, nossa missão é verificar em outros intervalos as possibilidades, mas já deu pra ver que teremos uma função contínua né?

Bora lá!

Passo 2

Vamos pensar no intervalo [ 1,3 ] , com x = 1,5 = 3 2 . Teremos

1 + - 1 1 2 . sin ⁡ 3 2 π = 0

Se deslocarmos o intervalo [ 0,1 ] com x = 0,5 = 1 2

1 + - 1 0 2 . sin ⁡ 1 2 π = 1

Achamos valores constantes, e teremos valores variando entre - 1 e 1 por causa do seno, quando o intervalo começar em um número par, se não, teremos resultado 0

Isso nos diz que a função é contínua, bem-comportada em todo domínio. Não achamos nenhuma indeterminação

E é isso! Até a próxima!

Resposta

é   c o n t i n u a  

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1