Determine os pontos de continuidade da função

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos encontrar os pontos de de continuidade da função

Bem, essa função é meio estranha. Ela vale 0 para os irracionais entre zero e 1, e vale 1 / q se x for racional escrito na forma irredutível p / q

Como podemos verificar seus pontos de continuidade?

Passo 2

Bem, f é descontínua em todos os números racionais: como os irracionais são densos nos reais, para qualquer racional x, não importa que escolha de ε nós façamos, há um irracional a ainda mais próximo deste x, onde f ( a )   =   0 (enquanto que f ( x ) é positiva).

Para demonstrar a continuidade nos irracionais, suponha sem perda de generalidade que ε é racional (para qualquer irracional ε', podemos escolher um racional ε" menor ainda). Como ε é racional, ele pode ser expresso como uma fração irredutível   a / b . O objetivo é mostrar que f ( x ) é contínua quando x é irracional.

Observe que f assume o valor máximo 1 em cada inteiro, pois um número inteiro é escrito como p / 1

então podemos limitar nosso exame do intervalo entre. p i s o ( x )   e   t e t o ( x )

Como ε tem um denominador finito b , os únicos valores para os quais f pode retornar um valor maior do que ε são aqueles com um denominador que não é maior do que b. Existe apenas um número finito de valores entre dois números inteiros, com um denominador que não é maior do que b, então estes podem ser listados exaustivamente. Definindo δ como sendo menor do que a menor distância de x a um desses valores, fica garantido que a todo valor a uma distância de no máximo δ de x satisfaz f ( x )   <   ε .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   a c i m a

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1