Determine os possíveis valores de a e b que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = a x 2 + 2 x           s e   x < 2 x 3 - a x                 s e   x ≤ 2

Passo 1

Simbora moçadinha

Para que uma função seja contínua em um ponto, ela deve possuir algumas propriedades específicas nesse ponto. Vamos analisar teoricamente os possíveis valores de a   e   b que tornam a função f ( x ) \) contínua em x = 2

A função f ( x ) é definida por duas expressões diferentes para x < 2   e   x ≥ 2

1 = a x 2 + 2 x           s e   x < 2 2 = x 3 - a x                 s e   x ≤ 2

Para que a função f x seja contínua em x = 2 , é necessário que os limites laterais da função, quando x se aproxima de 2 por valores menores ou maiores, sejam iguais.

Passo 2

Vamos calcular os limites laterais:

1 .   L i m i t e   l a t e r a l   à   e s q u e r d a   x → 2 - :

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ a x 2 + 2 x = 4 a + 4

1 .   L i m i t e   l a t e r a l   à   d i r e t a   x → 2 + :

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x 3 - a x = 8 - 2 a

Para que a função seja contínua em x = 2 , esses dois limites laterais devem ser iguais:

4 a + 4 = 8 - 2 a

Simplificando a equação:

6 a = 4

a = 4 6 = 2 3

Passo 3

Agora que temos o valor de a ,   demos calcular o valor de b utilizando a segunda parte da função:

f x = x 3 - a x

Substituindo a = 2 / 3

f x = x 3 - 2 3 x

Agora, vamos encontrar o valor de b   para que f x contínua em x = 2 .

Isso significa que f ( 2 - ) (valor da função à esquerda de x = 2 ) deve ser igual a f 2 + (valor da função à direita de x = 2 )

  f 2 - = 2 3 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2

f 2 - = 20 3

  f 2 + = 2 3 - 2 3 ⋅ 2

f 2 + = 20 3

Ambos os valores são iguais, o que significa que a função é contínua em x = 2

Portanto, os possíveis valores de a   e   b que tornam a função contínua são

a = 2 3   e   b = 20 3

Resposta

a = 2 3   e   b = 20 3

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1