Determine os possíveis valores de a e b que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = x 2 - 4 x - 2           s e   x < 2 , a x 2 - b x + 3         s e   2 ≤ x < 3 , 2 x - a + b           s e   x ≥ 3 .

Passo 1

Heyy, vamos nessa?

Para tornar a função f ( x ) contínua nos pontos de descontinuidade ( x   =   2   e   x   =   3 ) , precisamos garantir que os limites à esquerda e à direita nesses pontos sejam iguais e que a função tenha o mesmo valor nesses pontos.

Vamos abordar cada um dos pontos de descontinuidade separadamente:

1. Ponto de descontinuidade em x   =   2 :

Vamos calcular os limites à esquerda e à direita de x   =   2 :

L i m i t e   à   e s q u e r d a   ( x   →   2 ⁻ ) :

lim x  →   2 - ⁡ x 2 -   4 x   -   2

lim x  →   2 - ⁡ x   +   2 x   -   2 x   -   2

lim x  →   2 - ⁡ ( x   +   2 ) = 4 .

Passo 2

Valor da função em x   =   2 :

f 2 =   a 2 2   -   b 2 +   3   f ( 2 ) =   4 a   -   2 b   +   3 .

Para que a função seja contínua em x   =   2 , o limite à esquerda deve ser igual ao valor da função:

4   =   4 a   -   2 b   +   3 .

Equação 1:   4 a   -   2 b   =   1 .

Passo 3

2. Ponto de descontinuidade em x   =   3 :

Vamos calcular os limites à esquerda e à direita de   x   =   3 :

L i m i t e   à   d i r e i t a   ( x   →   3 ⁺ ) :

lim x  →   3 + ⁡ 2 x   -   a   +   b l i m x   →   3 +   2 3 -   a   +   b  

=   6   -   a   +   b .

V a l o r   d a   f u n ç ã o   e m   x   =   3 :

f 3 =   a 3 2 -   b 3 +   3   f ( 3 ) =   9 a   -   3 b   +   3 .

Para que a função seja contínua em x   =   3 , o limite à direita deve ser igual ao valor da função:

6   -   a   +   b   =   9 a   -   3 b   +   3 .

Equação 2: - 10 a   +   4 b   =   - 3 .

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações (Equação 1 e Equação 2) com duas incógnitas (a e b).

Resolvendo esse sistema, podemos encontrar os possíveis valores de a e b que tornam a função contínua nos pontos de descontinuidade.

Multiplicando a Equação 1 por 2 e somando à Equação 2, obtemos:

8 a   -   4 b   +   - 10 a   +   4 b =   2   +   - 3

- 2 a   =   - 1

a   = 1 2

Substituindo o valor de a na Equação 1:

4 1 2 -   2 b   =   1

2   -   2 b   =   1

- 2 b   =   - 1

b   = 1 2

Portanto, os valores de a   =   1 / 2   e   b   =   1 / 2 tornam a função f ( x ) contínua nos pontos de descontinuidade x   =   2   e   x   =   3 .

Resposta

a = 1 2

b = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1