Determine os possíveis valores de a, b e c que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = sin ⁡ b x + b a x + a         s e   x < - 1 , 3 x + 1       s e - 1 ≤ x ≤ 0 , a ln ⁡ x + e x + 1 + b         s e   x > 0

Passo 1

Vamos analisar a continuidade da função f ( x ) em cada intervalo e encontrar os valores de a ,   b   e   c que permitem que ela seja contínua em todos os pontos.

A função é dada por:

f x = sin ⁡ b x + b a x + a         s e   x < - 1 , 3 x + 1       s e - 1 ≤ x ≤ 0 , a ln ⁡ x + e x + 1 + b         s e   x > 0

Vamos analisar a continuidade em cada intervalo:

Para x < - 1

Para que a função seja contínua, o denominador a x + a não deve ser igual a zero, ou seja, a x   +   1 ≠   0   , o que implica que a ≠   0 .

Além disso, o limite da função sin ⁡ b x + b a x + a   q u a n d o   x se aproxima de - 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite quando x se aproxima de - 1 pelo lado direito.

Isso nos leva a:

lim x → - 1 - ⁡ sin ⁡ b x + b a x + a = lim x → - 1 + ⁡ 3 x + 1

sin ⁡ - b + b a + a = - 2

0 = - 2

Isso nos indica que não é possível tornar a função contínua em x = - 1

Portanto, não podemos encontrar valores de a ,   b   e   c que tornem a função contínua nesse intervalo.

Passo 2

Para - 1 ≤   x ≤   0   :

Neste intervalo, a função f x = 3 x + 1 é uma função linear e, portanto, contínua para todos os valores de x .

Não há restrições a serem consideradas aqui.

Para x > 0 :

Para que a função seja contínua nesse intervalo, o denominador x + 1 não deve ser igual a zero, ou seja, x ≠ - 1 . Além disso, o limite da função

a l n x + e x + 1 + b

quando x se aproxima de 0 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 0 pelo lado direito.

Isso nos leva a:

lim x → - 1 + ⁡ 3 x + 1 = lim x → 0 + ⁡ a l n x + e x + 1 + b

1 = b

Além disso, para que a função seja contínua, a deve ser igual a 1, pois qualquer outro valor de a causaria uma descontinuidade em x = - e

Portanto, os possíveis valores são a = 1 ,   b = 1   e   c pode ser qualquer valor real.

Note que os valores de a   e   b já foram determinados pelas condições de continuidade, enquanto c   não afeta a continuidade da função.

Resposta

Portanto, os possíveis valores são a = 1 ,   b = 1   e   c pode ser qualquer valor real.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1