Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

d) f x ,   y = x 4 x 2 - 9 y 2 - 36

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a região de continuidade da função e mostrar o gráfico dela. Pra isso, vamos avaliar o domínio da nossa função e descobrir as possíveis restrições desse domínio, que são os valores que x e y não podem assumir.

A primeira vista, nós temos uma função racional, que em geral é contínua para todo o domínio em R 2 . Mas a gente sabe que não pode ter divisão por zero e que não existe raiz quadrada de número negativo dentro dos números reais. Então, a nossa restrição será:

4 x 2 - 9 y 2 - 36 > 0

Vamos lá!

Passo 2

Como 4 x 2 - 9 y 2 - 36 > 0 , temos:

4 x 2 - 9 y 2 > 3 6

Dividindo todo mundo por 36 :

4 36 x 2 - 9 36 y 2 > 36 36

x 2 9 - y 2 4 > 1

Então, o domínio da função tá dentro da hipérbole definida por x 2 9 - y 2 4 > 1 . Portanto, nossa região de continuidade, será dado pelo domínio:

D = x ,   y ∈ R 2   |   x 2 9 - y 2 4 > 1

Observando o gráfico de f x ,   y = x 4 x 2 - 9 y 2 - 36 , a gente consegue ver que a região realmente é contínua dentro da hipérbole hachurada em lilás:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D = x ,   y ∈ R 2   |   x 2 9 - y 2 4 > 1

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1