Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

f x = x + x - 2 x - 1 ,     0 < x < 1 c x + 5 x 2 + 3 ,     x ≥ 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente o valor da constante c que tá presente na nossa função f ( x ) definida por partes, de modo que a função seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como temos um intervalo, essa definição se estende a todos os pontos do intervalo.

Repare que nós temos o quociente de funções polinomiais na função, que são sempre contínuas, exceto para valores que zerem o denominador. Repare também que, além de mudar sua lei de formação em x = 1 , a primeira parte da função não está definição para esse valor, porque zeraria o denominador. Mas f ( 1 ) existe na segunda parte da função. Então, precisamos testar os limites laterais de quando x tende a 1 , pela direita e pela esquerda, na parte que poderia causar algum problema de descontinuidade.

Sendo assim, vamos calcular lim x → 1 ⁡ f ( x ) , pela direita e pela esquerda, pra primeira parte da função e igualar com f ( 1 ) na segunda parte, de modo que:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Assim, vamos encontrar o valor de c . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais para f x = x + x - 2 x - 1 :

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 1 + x + x - 2 x - 1

Substituindo x = 1 aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo 0 0 . Então, podemos usar a regra de L’Hospistal pra fugir dela e aplicar o limite. Derivando em cima e embaixo, segundo L’Hospital, temos:

lim x → 1 + ⁡ 1 + 1 2 x 1

Agora não temos mais indeterminação e podemos aplicar o limite:

1 + 1 2 1 1 = 3 2

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → 1 - ⁡ x + x - 2 x - 1 = 1 + 1 2 1 1 = 3 2

Então, nossos limites laterais existem e são iguais.

Passo 3

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Pra x = 1 , nossa função é definida por f x = c x + 5 x 2 + 3 . Então, aplicando o ponto, temos:

f 1 = c ∙ 1 + 5 1 2 + 3 = c + 5 4

Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

c + 5 4 = 3 2

Fazendo meio pelos extremos:

2 c + 5 = 3 ∙ 4

2 c + 10 = 12

Isolando c :

2 c = 12 - 10

c = 2 2 = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1