Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em x = 0 .

f x = 1 - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x ,         x ≠ 0 c ,     x = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor da constante c que está presente na nossa função f ( x ) definida por partes, de modo que a função seja contínua em x = 0 .

Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto, ou seja:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Repare que a nossa função muda sua lei de formação em x = 0 e que substituindo esse ponto na primeira parte da função, teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, precisamos testar os limites laterais de quando x tende a 0 , pela direita e pela esquerda, na primeira parte da função e e igualar com f ( 0 ) na segunda parte. Assim, vamos garantir que a função seja contínua no ponto e encontrar o valor de c .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais para f x = 1 - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x :

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x

Pra tentar fugir da indeterminação, vamos reescrever a função usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x :

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x

Fatorando o denominador:

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x ( 1 - cos ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x )

Assim, simplificando, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 ( 1 + cos ⁡ x )

E podemos aplicar o limite:

1 1 + cos ⁡ ( 1 ) = 1 1 + 1 = 1 2

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x

lim x → 0 - ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ 1 ( 1 + cos ⁡ x ) = 1 2

Então, nossos limites laterais existem e são iguais.

Passo 3

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Pra x = 0 , a nossa função é definida por f x = c . Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

c = 1 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1