Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

f x = x 2 + 16 - 5 4 - x 2 + 7 ,     x > 0   e   x ≠ 3 c ,     x = 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor da constante c que está presente na nossa função f ( x ) definida por partes, de modo que a função seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como ela precisa ser contínua em [ 0 ,   + ∞ ) , essa definição se estende a todos os pontos do intervalo.

Repare que a nossa função muda sua lei de formação em x = 3 e que substituindo esse ponto na primeira parte da função, teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, precisamos testar os limites laterais de quando x tende a 3 , pela direita e pela esquerda, na primeira parte da função e e igualar com f ( 3 ) na segunda parte, de modo que:

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = f ( 3 )

Assim, vamos garantir que a função seja contínua no intervalo e encontrar o valor de c .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais para f x = x 2 + 16 - 5 4 - x 2 + 7 :

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 3 + ⁡ x 2 + 16 - 5 4 - x 2 + 7

Pra tentar fugir da indeterminação, vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo:

lim x → 3 + ⁡ x x 2 + 16 - x x 2 + 7

Fazendo a divisão de frações:

lim x → 3 + ⁡ x x 2 + 16 ∙ - x 2 + 7 x

lim x → 3 + ⁡ - x 2 + 7 x 2 + 16

Aplicando o limite:

- 3 2 + 7 3 2 + 16 = - 16 25 = - 4 5

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = lim x → 3 - ⁡ x 2 + 16 - 5 4 - x 2 + 7

lim x → 3 - ⁡ x x 2 + 16 - x x 2 + 7 = lim x → 3 - ⁡ - x 2 + 7 x 2 + 16 = - 4 5

Então, nossos limites laterais existem e são iguais.

Passo 3

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = f ( 3 )

Pra x = 3 , a nossa função é definida por f x = c . Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

c = - 4 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c = - 4 5

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1