8.1 Determine o valor da constante a de modo que seja contínua a função dada por

f x = a 3 x 3 + 2 ,       s e   x < 1 a x + 8 ,       s e   x ≥ 1

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão queremos o valor de a para que a função dada seja contínua.

Pra isso vamos lembrar que pra função ser contínua, os limites laterais naquele ponto que dividi devem ser iguais e que f naquele ponto também tem que ser igual:

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ f x = f 1

Passo 2

Primeiro calculando o limite de x tendendo a 1 pela direita, ou seja, os valores onde x > 1 , então usamos a x + 8 .

lim x → 1 + ⁡ a x + 8 = a + 8

Agora pela esquerda, ou seja, os valores onde x < 1 , então:

lim x → 1 - ⁡ a 3 x 3 + 2 = a 3 + 2

Igualando os dois:

a + 8 = a 3 + 2

Vamos rearranjar:

a 3 - 8 = a - 2

Usando o produto notável:

a - 2 a 2 + 2 a + 4 = a - 2

a - 2 a 2 + 2 a + 4 - a - 2 = 0

a - 2 a 2 + 2 a + 4 - 1 = 0

a - 2 a 2 + 2 a + 3 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação, temos duas opções :

Ou a - 2 = 0 :

a - 2 = 0

a = 2

Ou a 2 + 2 a + 3 = 0 a 2 + 2 a + 3 = 0

a = - 1 ± i 2

Resposta

a = 2

a = - 1 ± i 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1