Enunciado

Determine o valor de A para que a função f x seja contínua, com: f x = A x - 2 , x ≤ 0 - e x e x + 1 x > 0

Passo 1

Para que a função seja contínua, precisamos que ela seja contínua em todo o seu domínio. As expressões de f são, respectivamente um polinômio e uma razão de funções exponenciais, logo serão naturalmente contínuas em seus domínios.

Resta então tratar da continuidade da função no ponto onde a função troca de expressão, ou seja, no ponto x = 0 .

Para que seja contínua nesse ponto, precisamos que: lim x → 0 ⁡ f x = f 0

Como temos o sinal de menor e IGUAL na primeira expressão, então: f 0 = A 0 - 2 = - 2 A

Ou seja: lim x → 0 ⁡ f x = - 2 A

Passo 2

Vamos calcular esse limite agora. Como a função muda de expressão à esquerda e à direita desse limite, usamos os limites laterais. Para valores menores que x = 0 , temos a primeira expressão válida, ficando: lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ A x - 2 = - 2 A

Da mesma forma, para valores maiores que x = 0 , temos a segunda expressão válida: lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ - e x e x + 1 = - e 0 e 0 + 1 = - 1 2

Passo 3

Para que o limite exista, precisamos que os limites laterais sejam finitos e iguais, ou seja: lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = - 2 A = - 1 2

Ou seja:

A = 1 4

Resposta

A = 1 4

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