Determine os valores de a   e   b que tornam a função abaixo contínua em toda parte

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos osvalores de a   e   b que tornam a função abaixo contínua em toda parte.

Para a função ser contínua precisamos que os pontos de função satisfaçam

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

para todo a no domínio de f

Passo 2

Para encontrarmos os pontos de descontinuidade da função

Nossa função f é composta de 3 funções contínuas, logo, só precisamos nos preocupar com os pontos onde a f troca sua lei de formação para verificarmos a continuidade.

Começando com o ponto x = 2 . Para a função ser contínua nesse ponto precisamos que

l i m x → 2 f ( x ) = f ( 2 )

Ou seja, precisamos que

l i m x → 2 x ² - 4 x - 2 = 4 a - 2 b + 3

fazendo o limite, temos:

⇒ l i m x → 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) x - 2 = 4 a - 2 b + 3

⇒ l i m x → 2 x + 2 = 4 a - 2 b + 3

logo temos que ter

4 = 4 a - 2 b + 3

⇒ 4 a - 2 b = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a continuidade no ponto x = 3 . Para a função ser contínua nesse ponto precisamos que

l i m x → 3 f ( x ) = f ( 3 )

Ou seja, precisamos que

l i m x → 3 a x ² - b x + 3 = 6 - a + b

fazendo o limite, temos:

⇒ 9 a - 3 b + 3 = 6 - a + b

⇒ 10 a - 4 b = 3

Ou seja, temos as seguintes condições

10 a - 4 b = 3

4 a - 2 b = 1

Resolvendo esse sistema, obtemos que

a = 1 / 2

b = 1 / 2

Com esses valores de a   e   b nossa função f é contínua

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a = 1 / 2

b = 1 / 2

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1