Determine os valores das constantes a e b para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ - 3 ,   3 ] .

f x = a ,     x = - 3 9 - x 2 4 - x 2 + 7 ,   - 3 < x < 3 b ,     x = 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os valores das constantes a e b que estão presentes na nossa função f ( x ) definida por partes, de modo que a função seja contínua em [ - 3 ,   3 ] .

Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como temos um intervalo, essa definição se estende a todos os pontos do intervalo.

Repare que na segunda parte da função nós temos o quociente de funções polinomiais, que são sempre contínuas, exceto para valores que zerem o denominador. Repare também que, nossa função muda sua lei de formação em x = - 3 e x = 3 , e que a segunda parte da função não está definição para esses valores, porque zeraria o denominador. Mas f - 3 e f ( 3 ) existem nas outras partes da função. Então, precisamos testar os limites laterais de quando x tende a - 3 e quando x tende a 3 , pela direita e pela esquerda, na parte que poderia causar algum problema de descontinuidade.

Sendo assim, vamos calcular lim x → 3 ⁡ f ( x ) e lim x → - 3 ⁡ f ( x ) , pela direita e pela esquerda, pra segunda parte da função e igualar com f ( - 3 ) e f ( 3 ) na primeira e terceira parte, respectivamente, de modo que:

lim x → - 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 3 - ⁡ f ( x ) = f ( - 3 )

E

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = f ( 3 )

Assim, vamos encontrar o valor de a e b . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais para f x = 9 - x 2 4 - x 2 + 7 :

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 3 + 9 - x 2 4 - x 2 + 7

Substituindo x = 3 aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo 0 0 . Então, pra fugir da indeterminação, vamos racionalizar a função multiplicando ela por 4 + x 2 + 7 4 + x 2 + 7 :

l i m x → 3 + 9 - x 2 4 - x 2 + 7 ∙ 4 + x 2 + 7 4 + x 2 + 7

l i m x → 3 + ( 9 - x 2 ) ( 4 + x 2 + 7 ) 16 + 4 x 2 + 7 - 4 x 2 + 7 - x 2 - 7

Simplificando:

l i m x → 3 + ( 9 - x 2 ) ( 4 + x 2 + 7 ) 9 - x 2 = l i m x → 3 + 4 + x 2 + 7

Agora que não temos mais indeterminação, podemos aplicar o limite:

4 + 3 2 + 7 = 8

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → 3 - ⁡ 9 - x 2 4 - x 2 + 7 = l i m x → 3 - 4 + x 2 + 7

= 4 + ( 3 ) 2 + 7 = 8

Então, nossos limites laterais existem e são iguais.

Passo 3

Agora vamos verificar os limites laterais pra quando x = - 3 :

lim x → - 3 + ⁡ f ( x ) = l i m x → - 3 + 9 - x 2 4 - x 2 + 7

Substituindo x = - 3 aqui, a gente cai numa indeterminação do tipo 0 0 novamente. Então, pra fugir da indeterminação, vamos racionalizar a função multiplicando ela por 4 + x 2 + 7 4 + x 2 + 7 :

l i m x → - 3 + 9 - x 2 4 - x 2 + 7 ∙ 4 + x 2 + 7 4 + x 2 + 7

l i m x → - 3 + ( 9 - x 2 ) ( 4 + x 2 + 7 ) 16 + 4 x 2 + 7 - 4 x 2 + 7 - x 2 - 7

Simplificando:

l i m x → - 3 + ( 9 - x 2 ) ( 4 + x 2 + 7 ) 9 - x 2 = l i m x → - 3 + 4 + x 2 + 7

Agora que não temos mais indeterminação, podemos aplicar o limite:

4 + ( - 3 ) 2 + 7 = 8

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → - 3 - ⁡ 9 - x 2 4 - x 2 + 7 = l i m x → - 3 - 4 + x 2 + 7

= 4 + ( - 3 ) 2 + 7 = 8

Passo 4

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → - 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 3 - ⁡ f ( x ) = f ( - 3 )

E

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = f ( 3 )

Pra x = - 3 , nossa função é definida por f x = a . Então, aplicando o ponto, temos:

f - 3 = a

Pra x = 3 , nossa função é definida por f x = b . Então, temos:

f 3 = b

Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

b = 8

a = 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = b = 8

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