Determine os valores de a e b para que a função f , dada abaixo, seja contínua em R .

f x = x 4 ,     x ≤ - 1 a x + b ,   - 1 < x < 2 x 2 + 3 ,     x ≥ 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os valores das constantes a e b que estão presentes na nossa função f ( x ) definida por partes, de modo que a função seja contínua em R .

Pra que uma função seja contínua em um ponto, ela precisa existir naquele ponto e seus limites laterais também precisam existir e serem iguais a função no ponto. Como ela precisa ser contínua em todo domínio, essa definição se estende a todos os pontos do conjunto R .

Repare que em todas as partes da função nós temos funções polinomiais, que, em geral, são sempre contínuas. Repare também que, nossa função muda sua lei de formação em x = - 1 e em x = 2 . Mas f - 1 e f ( 2 ) são definidas apenas na primeira e na terceira parte da função. Então, precisamos testar os limites laterais de quando x tende a - 1 e quando x tende a 2 , pela direita e pela esquerda, na segunda parte da função.

Sendo assim, vamos calcular lim x → - 1 ⁡ f ( x ) e lim x → 2 ⁡ f ( x ) , pela direita e pela esquerda, pra segunda parte da função e igualar com f ( - 1 ) e f ( 2 ) na primeira e terceira parte, respectivamente, de modo que:

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 - ⁡ f ( x ) = f ( - 1 )

E

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f ( 2 )

Assim, vamos encontrar o valor de a e b . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando os limites laterais para f x = a x + b :

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = l i m x → - 1 + a x + b

Como não temos nenhuma indeterminação, podemos aplicar o limite:

a ∙ - 1 + b = - a + b

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → - 1 - ⁡ f ( x ) = l i m x → - 1 - a x + b = - a + b

Então, nossos limites laterais existem e são iguais.

Passo 3

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 - ⁡ f ( x ) = f ( - 1 )

Pra x = - 1 , a nossa função é definida por f x = x 4 , então aplicando o ponto:

f - 1 = - 1 4 = 1

Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

- a + b = 1

Vamos guardar esse resultado.

Passo 4

Agora vamos verificar os limites laterais pra quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda. Começando com o limite pela direita:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 2 a x + b

Como não temos nenhuma indeterminação, podemos aplicar o limite:

a ∙ 2 + b = 2 a + b

Da mesma forma, calculando o limite pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 2 - a x + b = 2 a + b

Então, nossos limites laterais nesse caso, também existem e são iguais.

Passo 5

Pra que a função seja contínua, nós precisamos que:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f ( 2 )

Pra x = 2 , a nossa função é definida por f x = x 2 + 3 , então aplicando o ponto:

f 2 = 2 2 + 3 = 7

Como esse resultado precisa ser igual aos limites laterais, vamos ter:

2 a + b = 7

Com o resultado do passo 3 , montamos o sistema:

- a + b = 1 2 a + b = 7

Da primeira equação, temos:

b = 1 + a

Substituindo na segunda equação:

2 a + 1 + a = 7

3 a = 7 - 1 → a = 2

Substituindo a = 2 na primeira:

2 ( 2 ) + b = 7

4 + b = 7 → b = 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 2

b = 3

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