Determine valores para a , b ∈ R para que a função definida abaixo seja contínua em R . Justifique muito bem sua resposta:

f x =   b c o s x 2 x ,                       s e   x < 0 0 ,                                                     s e   x = 0 3 - s e n a x x ,           s e   x > 0

Passo 1

Faaaala gente bonita do Responde Aí, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos uma função definida por partes, dada por:

f x =   b c o s x 2 x ,                       s e   x < 0 0 ,                                                     s e   x = 0 3 - s e n a x x ,           s e   x > 0

E, precisamos determinar os valores de a e b para que a função seja contínua.

Para uma função ser contínua precisa ser verdade que, em qualquer ponto x do domínio da função, vale:

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = f ( x )

Se olharmos as expressões para x < 0 e x > 0 , vemos que tratam-se de funções que trigonométricas, que não possuem nenhuma restrição ou ponto que faça a função ficar indeterminada. Logo, para esses pontos a função é contínua.

O grande ponto está justamente em x = 0 , onde ocorre a “conexão” entre essas partes. Portanto, precisamos mostrar que:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

Mas, como f ( x ) é definida de formas diferentes quando x → 0 - e quando x → 0 + , vamos precisar verificar:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = f ( x )

E, a partir dessas relações descobriremos a e b .

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar analisando:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Quando x → 0 - , temos que:

f x = b c o s x 2 x  

Assim, precisamos que:

lim x → 0 - ⁡ b c o s x 2 x = f 0 = 0

Mas, olha que, sobre o limite:

lim x → 0 - ⁡ b c o s x 2 x

Quando substituímos x = 0 , ficamos com:

lim x → 0 - ⁡ b c o s x 2 x = b 2 ⋅ 1 0

Ou seja, esse limite tenderia pra - ∞ . A única forma de evitarmos isso, é se a constante b zerar a função sempre. Ou seja, se b = 0 temos:

lim x → 0 - ⁡ b c o s x 2 x = lim x → 0 - ⁡ 0 = 0

Portanto, precisamos ter b = 0 para f ser contínua.

Passo 3

Analisando agora a outra parte da função, ou seja, quando x → 0 + , precisamos que:

lim x → 0 + ⁡ f x = f 0 = 0

Para x → 0 + , temos:

f x = 3 - s e n a x x

Assim:

lim x → 0 + ⁡ 3 - s e n a x x = 0

Colocando as constantes para fora, precisamos que:

3 - lim x → 0 + ⁡ s e n a x x = 0

∴ lim x → 0 + ⁡ s e n a x x = 3

Bom, para resolver esse limite, precisamos cair no limite fundamental, caso contrário temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Assim, vamos multiplicar a função dentro do limite por α / α , daí:

s e n a x x = α α ⋅ s e n a x x

Organizando um pouquinho, temos:

α ⋅ s e n α x α x

Substituindo de volta no nosso limite:

lim x → 0 + ⁡ s e n a x x =   lim x → 0 + ⁡ α ⋅ s e n α x α x = 3

Tirando a constante α pra fora:

α ⋅ lim x → 0 + ⁡ s e n α x α x = 3

Mas, esse limite é justamente o limite fundamental trigonométrico. Ou seja:

lim x → 0 + ⁡ s e n α x α x = 1

Assim, temos que α = 3 .

Portanto, pra função ser contínua precisamos ter:

b = 0 α = 3

É isso gente, obrigado pela atenção 😊  

Resposta

b = 0 α = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1