Qual deve ser o valor de L para que função f abaixo seja contínua?

x 3 - 8 x - 2 ,   s e   x ≠ 2

L     s e   x = 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é verificar qual é o valor de L para que a função abaixo seja contínua.

x 3 - 8 x - 2 ,   s e   x ≠ 2

L     s e   x = 2

Mas vocês lembram a definição de uma função ser contínua? Vamos revisar

Dizemos que uma função é contínua em um ponto x = a se

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

Isto é, o valor da função no ponto é igual ao valor do limite naquele ponto. Com isso em mente, vamos verificar se a nossa função é contínua

Passo 2

Queremos ver qual deve ser o valor de L para que a função abaixo seja contínua no ponto x = 2

x 3 - 8 x - 2 ,   s e   x ≠ 2

L     s e   x = 2

Como falamos no passo 1, para ela ser contínua nesse ponto precisamos que

l i m x → 2 f ( x ) = f ( 2 )

Vamos calcular o limite primeiro. Para isso, precisamos dos limites laterais no ponto x = 2

Como para x ≠ 2 nossa f ( x ) = x 3 - 8 x - 2 temos

l i m x → 2 + f ( x ) = l i m x → 2 + x 3 - 8 x - 2

Usando produto notável temos:

= l i m x → 2 + ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x - 2

=   l i m x → 2 + x 2 + 2 x + 4

= 2 2 + 2 * 2 + 4

= 12

De forma análoga mostramos que

l i m x → 2 - f ( x ) = 12

Ou seja, chegamos a conclusão que os limites laterais são iguais. Logo o limite no ponto x = 2 está bem definido e vale

l i m x → 2 f ( x ) = l i m x → 2 - f ( x )

= 12

Então, para a função ser contínua, precisamos que

f ( 2 ) = 12

Ou seja, precisamos que

L = 12

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

12

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1