Diga se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

  1. A função

f x = 1 - x 2 ,   x < - 1 ln ⁡ 2 - x 2 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 x + 1 ,   x > 1

É contínua ∀ x ∈ R .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer saber se a função f x abaixo é contínua para todos os números reais:

f x = 1 - x 2 ,   x < - 1 ln ⁡ 2 - x 2 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 x + 1 ,   x > 1

Para sabermos isso, temos que verificar se os limites laterais são iguais para as seguintes condições:

  1. para x → - 1 das 1 - x 2 e ln ⁡ 2 - x 2 ;
  2. para x → 1 de ln ⁡ 2 - x 2 e x - 1 x + 1 .

E aí? Bora verificar?

😉

Passo 2

Bom... vamos fazer os limites laterais para x → - 1 .

Quando x → - 1 pela esquerda, temos:

lim x → - 1 - ⁡ 1 - x 2 = 1 - ( - 1 ) 2 = 0

Quando x → - 1 pela direita, temos:

lim x → - 1 + ⁡ ln ⁡ 2 - x 2 = ln ⁡ 2 - ( - 1 ) 2 = 0

Dessa forma a função é contínua em x = - 1 pois seus limites resultaram em valores iguais.

Passo 3

Agora, vamos fazer os limites laterais para x → 1 .

Quando x → 1 pela esquerda, temos:

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 2 - x 2 = ln ⁡ 2 - 1 2 = 0

Quando x → 1 pela direita, temos:

lim x → 1 + ⁡ x - 1 x + 1 = 1 - 1 1 + 1 = 0

Dessa forma, a função é contínua em x = 1 pois seus limites resultaram em valores iguais.

Portanto, como não há descontinuidade, podemos concluir que a função é contínua em todo o intervalo dos números reais.

Entendeu direitinho? Responde aee 😉

Resposta

A afirmação é correta

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1