Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

a) f x ,   y ,   z = 1 x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar onde a função f ( x ,   y ,   z ) é contínua e se ela tem alguma descontinuidade.

Bom, pra que uma função seja contínua em um ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 , seu limite precisa existir e ser igual ao valor da função no ponto:

lim x ,  y ,   z   →   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⁡ f ( x ,   y ,   z ) = f ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )

Mas a gente quer saber se existem descontinuidades em todo domínio. Então, primeiro temos que verificar o domínio da função. E pra verificar o domínio, temos que verificar se existem restrições para ( x ,   y ,   z ) . Assim, temos que garantir que:

- nas frações o denominador não pode valer zero;

- dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo;

- o valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo.

Se houverem restrições, vamos verificar as condições de continuidade nesses pontos do domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando o domínio da nossa função f x ,   y ,   z = 1 x 2 + y 2 + z 2 . Nós temos uma fração e uma raiz no denominador dessa fração. Então, o que tá dentro da raiz tem que ser maior que zero, mas também não pode ser zero, porque tá no denominador. Só que as variáveis tão elevadas ao quadrado, então a primeira condição já tá ok. Dessa forma, nossa única condição será:

( x ,   y ,   z ) ≠ ( 0 ,   0 ,   0 )

Então, nosso domínio é definido por:

D f = x ,   y ,   z ∈   R 3 |   ( x ,   y ,   z ) ≠ ( 0 ,   0 ,   0 )

E nossa função é contínua em todo R 3 , exceto no ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n t í n u a ,   e x c e t o   n o   p o n t o   0 ,   0 ,   0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1