Encontre o domínio das seguintes funções:

c) h x = x 2 - 4 x + 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função h ( x ) e pediu pra gente encontrar o domínio dela. Mas o que é o domínio de uma função?

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável independente da função pode assumir. E quem é a variável independente?

Bom, no nosso caso, como temos uma h ( x ) – uma função que depende de x – logo, nossa variável independente é o x . Então, quais são os valores que x pode assumir na função? Ou melhor, quais são os valores que x não pode assumir na função para garantir sua existência?

Passo 2

Os valores que x não pode assumir na função são as chamadas restrições. O domínio nem sempre vai ser um conjunto completo, muitas vezes, a variável independente não poderá assumir alguns valores específicos. Mas quais seriam esses valores?

No nosso caso, temos a função:

h x = x 2 - 4 x + 3

Para pensar em quais valores x pode ou não assumir, vamos pensar nas restrições da função.

Nós temos uma raiz quadrada, lembra que não existe raiz quadrada de número negativo? Então, para garantir a existência da função, tudo que tá dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero (ou seja, positivo). E daí temos nossa restrição:

x 2 - 4 x + 3 ≥ 0

Para encontrar os valores de x   vamos resolver essa equação do segundo grau.

Passo 3

Na equação x 2 - 4 x + 3 = 0 , temos a = 1 , b = - 4 e c = 3 . Usando a equação de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = - - 4 ± - 4 2 - 4 ( 1 ) ( 3 ) 2 ∙ 1 = 4 ± 16 - 12 2 = 4 ± 4 2

Assim, vamos ter:

x 1 = 4 + 2 2 = 6 2 = 3

x 2 = 4 - 2 2 = 2 2 = 1

Repara que temos a = 1 , então a > 0 . Isso, na equação do segundo grau, significa que ela tem concavidade para cima. Com essas informações a gente consegue fazer um esboço do gráfico, só pra visualizar onde a função é positiva e negativa. Temos:

Pra gente agora só importa os dois pontos x = 3 e x = 1 . Repara no gráfico que antes de 1 , a função é positiva, depois, até 3 , ela passa a ser negativa. E depois de 3 , a função é positiva de novo.

Lembra que nós falamos no passo 2 , que a função h ( x ) precisa ser positiva? Mas dentro da nossa restrição, nós encontramos x = 3 e x = 1 . Então, isso significa que para a função ser positiva:

x ≥ 3

ou

x ≤ 1

Juntando tudo, nós temos o domínio da função:

D f x = x ∈ R     x ≥ 3   o u   x ≤ 1 }

É isso, galera. Valeu! 😉

Resposta

D f x = x ∈ R     x ≥ 3   o u   x ≤ 1 }

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1