Encontre o domínio das seguintes funções:

d) p x = 1 x 2 - 4 + 3 x 2 + 1 3 - x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função p ( x ) e pediu pra gente encontrar o domínio dela. Mas o que é o domínio de uma função?

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável independente da função pode assumir. E quem é a variável independente?

Bom, no nosso caso, como temos uma p ( x ) – uma função que depende de x – logo, nossa variável independente é o x . Então, quais são os valores que x pode assumir na função? Ou melhor, quais são os valores que x não pode assumir na função para garantir sua existência?

Passo 2

Os valores que x não pode assumir na função são as chamadas restrições. O domínio nem sempre vai ser um conjunto completo, muitas vezes, a variável independente não poderá assumir alguns valores específicos. Mas quais seriam esses valores?

No nosso caso, temos a função:

p x = 1 x 2 - 4 + 3 x 2 + 1 3 - x

Para pensar em quais valores x pode ou não assumir, vamos pensar nas restrições da função.

Nós temos a soma de duas funções, 1 x 2 - 4 e 3 x 2 + 1 3 - x . Na primeira delas, a única coisa que não pode ocorrer é nosso denominador ser zero, lembra que não existe divisão por zero? Então, já temos aí uma restrição.

Na segunda função, 3 x 2 + 1 3 - x , nós também não podemos ter zero no denominador. Além disso, como temos uma raiz quadrada, e não existe raiz quadrada de número negativo, essa parte também precisa ser positiva.

Traduzindo isso matematicamente, temos:

x 2 - 4 ≠ 0

E

3 - x > 0

A partir dessas duas restrições, nós podemos encontrar os valores que x não pode assumir, para garantir a existência da função.

Passo 3

Vamos começar com nossa primeira restrição:

x 2 - 4 ≠ 0

Isolando x , nós temos:

x 2 ≠ 4

Calculando a raiz dos dois lados:

x ≠ ± 4

x ≠ ± 2

Então, x precisa ser diferente de 2 e - 2 para que a nossa função esteja definida. Ou seja, temos:

- 2 < x < 2

Beleza, isso quer dizer que ela não pode assumir esses dois valores e tem que estar dentro desse intervalo, mas e antes de - 2 ? Bom, nossa função não nos dá nenhuma restrição quanto a isso, então nós podemos dizer que ela também está definida em:

x < - 2

Ou seja, nos intervalos ( - ∞ , - 2 ) e - 2 ,   2 a função existe. Agora vamos ver o que acontece quando ela é maior que 2 .

Passo 4

Olhando para a nossa segunda restrição:

3 - x > 0

Vamos isolar x aqui também:

- x > - 3

Multiplicando por ( - 1 ) dos dois lados, nós obtemos:

x < 3

Então, nós percebemos que para garantir a existência da função p ( x ) , x precisa estar antes de - 2 , entre - 2 e 2 ou entre 2 e 3 . Mas não pode assumir nenhum desses valores, por que isso geraria uma indeterminação ou uma singularidade (a função não estaria definida naquele ponto).

Agora chegou a hora de juntar tudo para definirmos nosso domínio:

D f x = x ∈ R     x < 2   o u - 2 < x < 2   o u   2 < x < 3 }

Isso também pode ser escrito assim:

D f x = x ∈ R     ( - ∞ ,   - 2 ) ∪ ( - 2 ,   2 ) ∪ ( 2 ,   3 ) }

Significa que o domínio tá unido, , nesses intervalos.

É isso, galera. Valeu! 😉

Resposta

D f x = x ∈ R     ( - ∞ ,   - 2 ) ∪ ( - 2 ,   2 ) ∪ ( 2 ,   3 ) }

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1