Encontre L tal que a função abaixo seja contínua em x = - 1

f x = L + e x + 1 cos ⁡ x + 1   ,     s e   x ≥ - 1 3 x 3 + 3 x + 2   ,     s e   x < - 1

Passo 1

Simbora. A questão quer saber da continuidade da função em x = - 1 . Mas como essa questão é definida por partes, a gente precisa ir com calma! Pra uma função definida por partes ser contínua, precisa ser verdade a igualdade abaixo:

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ f x = f - 1

Então partiu calcular cada um desses termos

Passo 2

Calculando f - 1 e lim x → - 1 + ⁡ f x

Bem, a função como é definida por partes tem duas leis de formação. Qual usar em cada caso vai depender. Pelo enunciado, a gente consegue ver que:

f x = L + e x + 1 cos ⁡ x + 1   ,     s e   x ≥ - 1

Então é essa lei de formação mesmo que vamos usar pra f - 1 . Sem mais delongas, bora pras contas:

f - 1 = L + e - 1 + 1 cos ⁡ - 1 + 1

f - 1 = L + e 0 cos ⁡ 0

f - 1 = L + 1

Agora, pra calcular lim x → - 1 + ⁡ f x a gente tem que pensar da mesma forma, beleza? Como x → - 1 + significa tendendo a - 1 por valores maiores que - 1 , a lei de formação que vamos usar vai ser a mesma! Sendo assim:

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ L + e x + 1 cos ⁡ x + 1

lim x → - 1 + ⁡ f x = L + e - 1 + 1 cos ⁡ - 1 + 1 = L + e 0 cos ⁡ 0 = L + 1  

Show de bola, parte da questão tá feita! Provamos que:

lim x → - 1 + ⁡ f x = f - 1 = L + 1

Passo 3

Calculando lim x → - 1 - ⁡ f x

Só agora que a gente vai precisar trocar de lei de formação. Porque? Bem, agora o limite vai ser pra x → - 1 - , ou seja, pra x tendendo a - 1 por valores menores que - 1 , ou seja pra x < - 1 . Vamos ter então:

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ 3 x 3 + 3 x + 2 =

3 - 1 3 + 3 - 1 + 2 = 3 - 1 - 3 + 2 = 3 - 2 = 1 9

O limite vai ser então:

lim x → - 1 - ⁡ f x = 1 9

Passo 4

Juntando tudo

Agora que calculamos os dois limites e f - 1 também, aplicando à condição de continuidade, vamos ter que:

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ f x = f - 1

L + 1 = 1 9 = L + 1

Show de bola, só achar L e partir pro abraço. Vamos lá:

L + 1 = 1 9

L = 1 9 - 9 9

L = - 8 9

Resposta

L = - 8 9

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2