Encontre os valores de a e b que tornam f continua em toda parte.

f x =   { x 2 - 4 x - 2 ,     s e   x < 2                                 a x 2 - b x + 3 ,       s e   2 < x < 3   2 x - a + b ,       s e   x ≥ 3                            

Calcule 2 a + b

Passo 1

Falaaaa, beleza??? Bora lá começar esse probleminha de cálculo.

Esse tipo de questão é bem importante para entender o conceito de continuidade, bora dar uma lembrada nesse conceito?

De forma um pouco menos formal, dizemos que f é contínua em toda parte, se em cada ponto de f temos:

f x = f ( a )  

Ou seja, se o limite no ponto é igual ao valor da função no ponto.

Pra que esse limite seja igual a f ( a ) , ele precisa existir, então tem outra coisinha que deve rolar, consegue lembrar?

Para isso, precisamos que:

f x = f ( x )     = f ( x )  

Então, resumidamente, precisamos que os limites laterais dessa funçãozinha do enunciado sejam iguais, para todo ponto.

Mas a gente não vai precisar olhar pra todos os pontos não, porque as funções que temos são polinomiais, então elas já são contínuas. Só a função x 2 - 4 x - 2 que é descontínua em x = 2 , pro denominador não zerar, mas esse ponto já é um dos nossos pontos de interesse porque muda a expressão de f .

Os pontos “limites” ou problemáticos, que nesse caso fazem a expressão de f mudar, ou seja, os pontos { 2,3 } são os únicos que podem dar problema. Então vamos analisar o limite nesses pontos.

Passo 2

Então bora lá calcular esses limites laterais nos pontos problemáticos e depois forçar a igualdade:

f x = x 2 - 4 x - 2     = 0 0

Só para constar, colocamos esse valor de f pois estamos sobre valores de x na esquerda de 2.

Agora, como encontramos uma indeterminação, vamos lembrar a seguinte fatoração:

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

Aplicando isso no limite:

x 2 - 4 x - 2   = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x - 2  

Bora cortar ( x - 2 ) :

x + 2   = 4

E como foi dito anteriormente, o limite a direita e a esquerda de 2 deve ser igual, ou seja, queremos que:

f ( x )   = 4

Dai, temos que:

a x 2 - b x + 3   = 4 a - 2 b + 3 = 4

E por isso, temos a primeira relação 4 a - 2 b = 1

Bora guardar essa informação e analisar os outros limites.

Passo 3

E bora lá analisar o outro ponto problemático.

f x = a x 2 - b x + 3    

Vamos analisar sobre essa expressão de f , pois estamos olhando para valores próximos de 3 pela esquerda, ou seja, menores que 3. Então bora lá:

a x 2 - b x + 3   = 9 a - 3 b + 3  

Ou seja:

f x = 9 a - 3 b + 3  

E como foi dito, queremos que os limites laterais sejam iguais, ou seja:

f x = 9 a - 3 b + 3  

Mas nós temos que:

f x =   2 x - a + b = 6 - a + b  

E por isso, temos que:

9 a - 3 b + 3 = 6 - a + b

Ou seja, temos que 10 a - 4 b = 3

Passo 4

Agora bora unir as informações:

{ 4 a - 2 b = 1             10 a - 4 b = 3          

Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda equação:

10 a - 4 b - 2 4 a - 2 b = 3 - 2 1

Fazendo a distribuição:

10 a - 4 b - 8 a + 4 b = 1

2 a = 1 ∴ a = 1 2

Colocando esse valor na primeira equação, temos que b = 1 2

E por isso, chegamos à conclusão que 2 a + b = 2 1 2 + 1 2 = 3 2

E chegamos no finalzinho desse problema, bora para o próximo???

Resposta

2 a + b = 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1