1. Estude, em função dos valores α ∈ R , a continuidade da função f : R 2 → R ,   dada por
  2. f x , y = x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 cos ⁡ x 2 + α y 2 - 1 ,         x , y ≠ ( 0,0 ) - 2 α ,         x , y = ( 0,0 )

  3. Analise a diferenciabilidade de f ( x , y ) em ( 0,0 ) para os casos de α = 0 e α = 1 .

Passo 1

Faaaala, pessoal! Para estudar a continuidade, temos que averiguar se o limite na vizinhança da origem existe e se equivale ao valor na origem. Assim, consideremos a expansão em Taylor do cosseno:

cos ⁡ t = 1 - t 2 2 + o ( t 2 )

de forma a obter:

lim x , y → 0,0 ⁡ f α x , y = lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 cos ⁡ x 2 + α y 2 - 1 =

= lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 1 - x 2 + α y 2 2 2 + o x 2 + α y 2 2 - 1 = = 2 lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 - x 2 + α y 2 2 + o x 2 + α y 2 2 =

= 2 lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 x 2 + α y 2 2 ⋅ 1 - 1 + o ( 1 ) =

= 2 lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 x 4 + 2 α x 2 y 2 + α 2 y 4 ⋅ 1 - 1 + o ( 1 ) =

= 2 lim x , y → 0,0 ⁡ 1 + 2 y x 2 + α y x 4 1 + 2 α y x 2 + α 2 y x 4 ⋅ 1 - 1 + o ( 1 ) =

Dado α = 1 , numerador e denominador se igualam e para qualquer inclinação pela qual nos aproximemos da origem ( y / x ) teremos o mesmo valor, logo:

lim x , y → 0,0 ⁡ f 1 x , y = - 2

E também f 1 0,0 = - 2 . Logo, para α = 1 , a função é contínua em 0,0 e em seu domínio – na qual é contínua por composição de contínuas. Para qualquer α ≠ 1 , a identidade polinomial nos garante o valor da razão dependerá de y / x . Ou seja, se nos aproximarmos da origem pela reta y = x ou pela y = - x , obteríamos valores diferentes, logo f α é descontínua em ( 0,0 ) .

Resposta

A função é contínua na origem apenas para α = 1 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1