A função

f ( x ) = x 2 s i n ( 1 / x )   s e   x ≠ 0

e

= 0   s e   x = 0

é da classe C 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma sobre limites

Nosso objetivo é verificar se

f ( x ) = x 2 s i n ( 1 / x )   s e   x ≠ 0

e

= 0   s e   x = 0

é da classe C 2

Ou seja, se f é contínua e tem sua primeira e segunda derivada contínuas

Passo 2

começar vendo se f é contínua

f ( x ) = x 2 s i n ( 1 / x )   s e   x ≠ 0

e

= 0   s e   x = 0

l i m x → 0 f ( x ) = l i m x → 0 x 2 s i n ( 1 / x )

como a função seno é limitada e x 2 → 0

= 0

Que é o valor de f ( 0 ) . Então a função é contínua.

Passo 3

Vamos derivar f e ver se a derivada é contínua.

Pela regra do produto

f ' ( x ) =   2 x s i n ( 1 / x ) + x 2 d d x s i n ( 1 / x )

pela regra da cadeia

=   2 x s i n ( 1 / x ) - x 2 c o s ( 1 / x ) 1 / x 2

= 2 x s i n ( 1 / x ) - c o s ( 1 / x )

Calculando seu limite quando x → 0

l i m x → 0 2 x s i n ( 1 / x ) - c o s ( 1 / x )

Mas esse limite é indeterminado por conta do termo c o s ( 1 / x ) . Logo f ' ( x ) não é contínua.

O que implica que f não é C 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1