A função f é contínua em x   =   2 ? Justifique sua resposta.

f ( x ) = 5 x + 2 2 x - 1   s e   x ≥ 2

= 10 x - 3   s e   x < 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é verificar se a função é contínua em x = 2

f ( x ) = 5 x + 2 2 x - 1   s e   x ≥ 2

= 10 x - 3   s e   x < 2

Como verificamos isso? Para uma função ser contínua em um ponto precisamos que o limite da função naquele ponto seja igual ao valor da função. Ou seja, f é contínua em x = a se

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

Vamos verificar se essa condição é satisfeita.

Passo 2

Bem, queremos verificar

f ( x ) = 5 x + 2 2 x - 1   s e   x ≥ 2

= 10 x - 3   s e   x < 2

contínua em x = 2 . Vamos verificar se é válida a condição

l i m x → 2 f ( x ) = f ( 2 )

Pela lei de formação da função,

f ( 2 ) = 5 * 2 + 2 2 * 2 - 1

= 4

Passo 3

Para verificarmos o limite

l i m x → 2 f ( x )

precisamos ver se ele está bem definido, isso é se

l i m x → 2 - f ( x ) = l i m x → 2 + f ( x )

Vamos começar com o limite à esquerda.

Para x < 2 , temos:

l i m x → 2 - f ( x ) = l i m x → 2 - 10 x - 3

= 17

Pronto, nem precisamos continuar com o cálculo do outro limite. Pois para ser contínua, precisamos que o l i m x → 2 f ( x ) = 4 e já vimos que isso não iráacontecer

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1