A função maior inteiro é a função que associa, a cada elemento x   ∈   R , o valor [ [ x ] ] que é o maior número inteiro que é menor ou igual a x . Por exemplo,

[ [ 0 ,   5 ] ]   =   0 ,   [ [ 3 ] ]   =   3 ,   [ [ - 1 ,   8 ] ]   =   - 2 .

a) Calcule [ [ 3 ,   7 ] ] ,   [ [ - 0 ,   6 ] ] ,   [ [ n ] ] com n   ∈   N

(b) Estude os limites laterais da função maior inteiro no ponto x   =   2 . Em seguida, decida se ela é contínua neste ponto

(c) Determine todos os pontos onde a função não é contínua

(d) Faça um esboço do gráfico da função

Passo 1

Faaala galerinha, vamos pra cima!! Trabalhando agora com a função maior inteiro e seus limites.

  1. Ora, pela definição de função maior inteiro, podemos afirmar que:
    1. Se o número tiver parcela decimal, o valor [ [ x ] ] é o maior número inteiro que é menor a x .
    2. Se o número for inteiro, então x = x

    Portanto:

    3 ,   7 = 3

    - 0 ,   6 = - 1

    n = n

  2. Observemos:
  3. Ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda temos valores como [[1.5]], [[1.75]], [[1.99]] e sabemos que esses valores correspondem a 1. Então:

    lim x → 2 - ⁡ x = 1

    Ao nos aproximarmos de 2 pela direita temos valores como [[2.5]], [[2.25]], [[2.01]] e sabemos que esses valores correspondem a 1. Então:

    lim x → 2 + ⁡ x = 2

    Concluímos então que o limite não existe e, portanto, a função não é contínua no ponto.

    Passo 2

  4. Pensemos um pouco pra essa parte:
  5. Na linha de raciocínio que estabelecemos na letra b, nenhum ponto x pertencente aos inteiros caracterizaria limite existente, muito menos continuidade. No entanto, se analisarmos um valor pra x que difere desse conjunto, como por exemplo:

    Temos que se nos aproximamos de 1.5 pela esquerda ou direita teremos valores como [[1.4]] = [[1.49]] = [[1.51]] = [[1.6]] = 1. Logo:

    lim x → 1.5 + ⁡ x = 1 =   lim x → 1.5 - ⁡ x  

    E isso se estende para qualquer número real que foge da intercessão entre o conjunto dos inteiros e racionais.

Finalizado, meu povo:

Resposta

  1. [ [ 3 ,   7 ] ]   =   3 ,   [ [ - 0 ,   6 ] ]   =   - 1   e   [ [ n ] ]   =   n para todo n   ∈   N
  2. lim x → 2 - ⁡ x = 1   e   lim x → 2 + ⁡ x = 2 .
  3. Logo, a função não possui limite definido nem é contínua.

  4. A função é descontínua em todos os pontos n   ∈   Z .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1