1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

d) k x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x < 3 x 2 - 2 x + 3 ,     s e   x ≥ 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em determinar se a função h x é contínua em x = 3 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Dizer que uma função é contínua em um intervalo, é dizer que ela está definida em todos os pontos desse intervalo, ou seja, conseguimos desenhar o gráfico de h x sem tirar o lápis do papel em nenhum momento? Se sim, a função é contínua, se não a função não é contínua.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, como a função é definida por partes, temos que usar o método do limite.

Como a função é definida por partes entre duas funções nos arredores de x = 3 , então o polinômio que x < 3 deve tender à mesma imagem do polinômio em x = 3 , ou seja

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x - 3 = lim x → 3 ⁡ x 2 - 2 x + 3

Calculando o primeiro limite, temos

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x - 3

Reescrevendo x 2 - 9 como x - 3 x + 3 , vamos obter

lim x → 3 ⁡ x - 3 x + 3 x - 3

Assim simplificamos x - 3 na fração resultando em

lim x → 3 ⁡ x + 3

Fazendo x = 3 , temos

lim x → 3 ⁡ x + 3 = 6

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos calcular o segundo limite

lim x → 3 ⁡ x 2 - 2 x + 3

Fazendo x = 3 direto, temos

lim x → 3 ⁡ x 2 - 2 x + 3 = 3 2 - 2 3 + 3

lim x → 3 ⁡ x 2 - 2 x + 3 = 6

Assim temos

lim x → 3 ⁡ x + 3 = 6 lim x → 3 ⁡ x 2 - 2 x + 3 = 6

Como os dois limites deram iguais, podemos dizer que as duas partes da função k x convergem para o mesmo valor em x = 3 , portanto, a função é contínua.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Contínua

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1