Mostre que f ( x ) = x + 1 x é contínua para todo x > 0 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui a seguinte função

f ( x ) = x + 1 x

e, precisamos mostrar que ela é contínua para todo x > 0 . Mas como fazemos isso? A continuidade de uma função pode ser verificada através de duas condições, primeiro, precisamos que os limites laterais sejam equivalentes

l i m x → a + f ( x ) = l i m x → a - f ( x ) = L

e, precisamos também que

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

em que x = a é um valor dentro do domínio da função! Vamos tentar verificar isso! Saca só!

Passo 2

Se tivéssemos o domínio como todos os reais, essa função não seria contínua, uma vez que estaríamos considerando o valor x = 0 , em que nenhuma das duas condições acima tem validade! No entanto, temos que para um valor arbitrário x = a > 0 , calcular os limites laterais não depende de qual sentido você está tomando, ou seja

l i m x → a + x + 1 x = l i m x → a - x + 1 x = a + 1 a

Note que isso é bem definido contanto que a > 0 . Da mesma forma, o limite acima nos garante que

l i m x → a x + 1 x = a + 1 a = f ( a )

então, a função é contínua para todo x = a > 0 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1