Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

b) f x ,   y = x + y sin ⁡ x y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto ( 0 ,   0 ) precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = f ( 0 ,   0 )

Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar vericando a existência do limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x + y sin ⁡ x y

Vamos tentar calcular esse limite usando as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Subsitituindo na função:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x + y sin ⁡ x y = lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ sin ⁡ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ

Separando o limite do produto nos produtos dos limites, temos:

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ ∙ lim r → 0 ⁡ sin ⁡ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ

Simplificando o segundo termo, vamos ter:

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ∙ lim r → 0 ⁡ sin ⁡ cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Agora repare que sin ⁡ cos ⁡ θ sin ⁡ θ , depende apenas de θ , então o limite quando r → 0 será ele mesmo, já que ele se comporta como constante. Já em lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ , quando aplicado o limite, vamos ter:

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ = 0 ∙ cos ⁡ θ + sin ⁡ θ = 0

Então, vai ficar:

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ∙ lim r → 0 ⁡ sin ⁡ cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 0 ∙ sin ⁡ cos ⁡ θ sin ⁡ θ

= 0

Já que o limite existe, temos uma descontinuidade removível. Mas f ( 0 ,   0 ) não existe na função x + y sin ⁡ x y , porque isso geraria uma indeterminação do tipo 0 0 no argumento do seno. Pra remover essa descontinuidade podemos escrever a função na forma:

f x ,   y = x + y sin ⁡ x y ,       s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e s c o n t i n u i d a d e   r e m o v í v e l

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1