Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

c) f x ,   y = x 2 y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto ( 0 ,   0 ) precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = f ( 0 ,   0 )

Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar vericando a existência do limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2

Vamos tentar calcular esse limite usando as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Subsitituindo na função:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ 2 r sin ⁡ θ 2 ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sin ⁡ θ ) 2

Elevando ao quadrado:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ ∙ r 2 sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Colocando r em evidência e usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

lim r → 0 ⁡ r 4 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = lim r → 0 ⁡ r 4 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ r 2

Simplificando:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Assim, quando r tende a zero, vamos obter:

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ = 0

Mas f ( 0 ,   0 ) não existe na função f x ,   y = x 2 y 2 x 2 + y 2 , porque isso geraria uma indeterminação. Do tipo 0 0 . Portanto, temos uma descontinuidade removível. Pra remover essa descontinuidade podemos escrever a função na forma:

f x ,   y = x 2 y 2 x 2 + y 2 ,       s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e s c o n t i n u i d a d e   r e m o v í v e l

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1