Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

d) f x ,   y = x 3 y 2 x 6 + y 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto ( 0 ,   0 ) precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = f ( 0 ,   0 )

Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar vericando a existência do limite:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f ( x ,   y ) = lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x 3 y 2 x 6 + y 4

Perceba que:

0 ≤ y 2 ≤ x 6 + y 4

Isso porque y 2 ≥ 0 , então y 2 tem que ser menor ou igual a x 6 + y 4 , pois estamos somando algo não negativo. Agora dividindo tudo por x 6 + y 4 , fica:

0 ≤ y 2 x 6 + y 4 ≤ 1

Percebeu que nossa expressão está contida na nossa função? Basta multiplicar o que falta para que o termo do meio seja igual a nossa função. Então, multiplicando por x 3 , temos:

0 ∙ x 3 ≤ y 2 x 6 + y 4 ∙ x 3 ≤ 1 ∙ x 3

0 ≤ x 3 y 2 x 6 + y 4 ≤ x 3

Agora aplicando o limite em todo mundo, temos:

l i m x ,   y → 0 ,   0 0 ≤ l i m x ,   y → 0 ,   0 x 3 y 2 x 6 + y 4 ≤ l i m x ,   y → 0 ,   0 x 3

Agora ficou fácil calcular os limites das extremidades:

l i m x ,   y → 0 ,   0 0 = 0

l i m x ,   y → 0 ,   0 x 3 = 0

Assim,

0 ≤ l i m x ,   y → 0 ,   0 x 3 y 2 x 6 + y 4 ≤ 0

Portanto, pelo Teorema do Sanduiche, a única forma dessa desigualdade ser satisfeita é:

l i m x ,   y → 0 ,   0 x 3 y 2 x 6 + y 4 = 0

Passo 3

Mas f ( 0 ,   0 ) não existe na função f x ,   y = x 3 y 2 x 6 + y 4 , porque isso geraria uma indeterminação. Do tipo 0 0 . Portanto, como o limite existe, temos uma descontinuidade removível. Pra remover essa descontinuidade podemos escrever a função na forma:

f x ,   y = x 3 y 2 x 6 + y 4 ,       s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e s c o n t i n u i d a d e   r e m o v í v e l

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1