Observando o gráfico de f ( x ) na figura abaixo, determine se a função é contínua ou descontínua em cada um dos seguintes valores de x

  1. x = - 1
  2. x = - 4
  3. x = - 3
  4. x = 3
  5. x = 4

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão nos dá o gráfico de uma função e pergunta se ela é contínua em vários pontos de seu domínio

Mas você lembra de as condições para uma função ser contínua em um ponto?

São essas três:

  1. Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

Então a ideia é analisar ponto a ponto o gráfico, e verificar se os limites são iguais entre si e iguais à função no ponto (bolinha fechada)

Outra maneira de ver é: para desenhar a função em torno desse ponto, você tira o lápis do papel? Se a resposta for sim, então ali temos uma descontinuidade! Se não, então ela é contínua em torno!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

  • Em torno de x = - 1 :
  • a função é contínua, bem tranquilo!

    Tudo bem até aqui?

    Passo 3

  • x = - 4
  • Embora apresente um bico (ponto em que não temos uma reta tangente e portanto não é diferenciável), a função tende ao mesmo ponto pelos dois lados.

    E você não precisa tirar o lápis do papel para desenhar esse bico, então a função é mesmo contínua ali!

    Passo 4

  • Em torno de x = - 3 :
  • Percebeu que em torno desse ponto as setinhas se desencontram? Isso significa que os limites laterais são diferentes! Portanto ali nossa função não é contínua

    (para desenhar a função vamos precisar tirar do papel não é verdade? Essa maneira de ver sempre funciona mas é menos formal)

    Passo 5

  • x = 3 :
  • Vamos que aqui as setas também se desencontram! Os limites laterais são diferentes, e isso nos mostra que em x = 3 há novamente uma descontinuidade!

    Partiu avaliar o último ponto?

    Passo 6

  • Em torno de x = 4 :

x = 4 a função volta a ser bonitinha, tranquila. As setas tendem ao mesmo ponto pelos dois lados e em consequência disso a função é constante ali

vamos recapitular as respostas?

a c o n t í n u a

b c o n t í n u a

c d e s c o n t í n u a

d d e s c o n t í n u a

( e ) c o n t í n u a

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

a c o n t í n u a

b c o n t í n u a

c d e s c o n t í n u a

d d e s c o n t í n u a

( e ) c o n t í n u a

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1