Sabe-se que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5 e f está definida em R . Todas as afirmações abaixo são falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.

a) f ( x )   >   0 para x   ∈   ( 1 ,   3 )

b)   f 2 = 5

c) f ( 2 ) é positivo

Passo 1

Faaala galera, nesse exercício vamos argumentar sobre descontinuidade de funções num ponto e como isso afeta o nosso limite.

Vamos de letra a:

f ( x )   >   0 para x   ∈   ( 1 ,   3 )

Ao observamos que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5   , sabemos que a nossa função é positiva e tende a 5 quando x se aproxima do valor 2 tanto pela esquerda quando pela direita. Ou seja, valores muitíssimo próximos de 2 realmente vão caracterizar f ( x )   >   0 , mas o intervalo (1,3) também possui uma certa distância de x = 2 e, portanto, pode ocorrer ainda que nos seus extremos haja f x <   0 .

Exemplo:

Passo 2

Vamos discutir agora sobre continuidade

Letra b:

Simples, embora f esteja definida em R isso não significa que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5   implica em f 2 = 5 ,   visto que a função pode não ser continua nesse ponto, de forma que ela assume um valor diferente de 5 nele.

Letra c:

Ora, podemos estender o que vimos na letra b para o seguinte:

E é isso pessoal, finalizamos 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1