Sabendo que f   :   R   →   R é derivável em a   ∈ ] 0 ,   + ∞ [ , calcule l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a em termos de f   ′ ( a ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a

em termos de f   ′ ( a ) . Vamos manipular essa função para aparecer a f   ′ ( a ) pela definição e então utilizar que o limite do produto é o produto dos limites . Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para a função e manipulando

f ( x ) - f ( a ) x - a = f ( x ) - f ( a ) x - a   x + a x + a = f ( x ) - f ( a ) x - a ( x + a )

então aplicando o limite

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a =   l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a ( x + a )

lembrando que o limite do produto é o produto dos limites

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a ( x + a ) = l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a l i m x → a ( x + a )

Passo 3

Agora, identificando a derivada f   ′ ( a ) por definição

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a l i m x → a ( x + a ) = f   ′ ( a ) l i m x → a ( x + a )

e aplicando o limite no segundo termo

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a = f   ′ ( a ) l i m x → a ( x + a ) = 2   a   f   ′ ( a )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a = 2   a   f   ′ ( a ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1