Seja

h x = x + 2 + x - 2 x

a ) Determine o domínio de h ( x ) e escreva a expressão da função sem usar módulo. Verifique se a função é par ou ímpar, ou injetora. Justifique sua resposta provando ou dando contra-exemplo.

Passo 1

Ooii gente, tudo na paz com vocês?

Nessa questão temos uma função h ( x ) dada por:

h x =   x + 2 + x - 2 x  

Pra começar, devemos determinar o domínio de h e também reescrever essa função sem usar o módulo. Depois disso, também devemos determinar a paridade da função, e também se ela é ou não injetora.

Mas, vamos com calma, fiquem tranquilos 😊.

Começando pelo domínio, precisamos avaliar pela expressão de h se tem algum valor de x que pode trazer alguma restrição matemática. Beleza?

Pra tirar o módulo, precisamos lembrar que:

y = y   ,                           y ≥ 0 - y   ,     y < 0

Já pra determinar a paridade, devemos lembrar que:

f x = f - x ⇒ p a r f x =   - f x ⇒ í m p a r

E, por fim, pra determinar se uma função é injetora, devemos lembrar da definição de injetividade:

f ( x ) é injetora se, e somente se:

f x 1 = f x 2 ⇔ x 1 = x 2

Ou seja, valores diferentes de x nos dão valores diferentes de f .

E aí, tá acompanhando bem até aqui?! Vamo simbora!!

Passo 2

Começando pelo domínio de h ( x ) , temos que:

h x =   x + 2 + x - 2 x  

O único ponto que poderia causar problema matemático na expressão de h é quando temos o denominador nulo. Ou seja, se tivéssemos:

x = 0

a função não estaria definida. Portanto, o nosso domínio contém todos os reais, exceto x = 0 .

D f = x ∈ R   x ≠ 0 }

Tranquilo?!

Passo 3

Vamos agora escrever a expressão de h sem o módulo. Temos:

h x =   x + 2 + x - 2 x  

Temos dois módulos nessa expressão. Vamos analisar cada um deles:

x + 2 = x + 2   ,     x ≥ - 2 - x - 2   ,     x < - 2

Já para o outro módulo, temos:

x - 2 = x - 2   ,     x ≥ 2 - x + 2   ,     x < 2

Logo, podemos dividir a nossa função em 4 intervalos:

- ∞ , - 2 ∪ - 2 ,   0 ∪ 0,2 ∪ [ 2 ,   ∞ )

Substituindo o módulo pelo valor apropriado em cada um desses intervalos, vamos ter:

  • ( - ∞ ,   - 2 ) :
  • h x = - x - 2 + - x + 2 x = - 2

  • - 2 ,   0 ∪ 0,2 :
  • h x = x + 2 + - x + 2 x = 4 x

  • 2 ,   ∞ :

h x = x + 2 + x - 2 x = 2

Perfeito galera! Podemos então definir nossa função por partes como:

h x =   - 2   ,     x < - 2 4 x   ,     - 2 ≤ x < 2   (   x ≠ 0 ) 2   ,     x ≥ 2

Aí sim galerinha, muito bom 😊

Passo 4

Agora vamos analisar a paridade da função. Pela forma que definimos h por partes, em x < - 2 e x ≥ 2 , temos que a função é constante. Portanto, vai valer que:

h x = h ( - x )

Ou seja, função par.

Mas, no intervalo - 2 ,   0 ∪ 0,2 ,   temos:

h x = 4 x

Enquanto:

h - x =   - 4 x

Ou seja, o que vale nesse intervalo é que:

h x =   - h ( - x )

Ou seja, função ímpar.

Mas se a nossa função h é par em um intervalo e ímpar em outro, é porque na realidade ela não é nem par nem ímpar. Beleza?

Já sobre a injetividade, temos que h não é injetora. Pois temos intervalos em que a função é constante, ou seja, vai acontecer:

f x 1 = f x 2   c o m   x 1 ≠ x 2  

Tranquilo pessoal?

Então é isso! Matamos a questão 😊

Até a próxima 😊

Resposta

D f = x ∈ R   x ≠ 0 }

h x =   - 2   ,     x < - 2 4 x   ,     - 2 ≤ x < 2   (   x ≠ 0 ) 2   ,     x ≥ 2

Não é par nem ímpar, e também não é injetora.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1