2) Seja

h t = t - 2 d 3 , s e   t < 0 ; c - d cos ⁡ t , s e   0 ≤ t ≤ π / 2   ; d sen ⁡ t + 2 , s e   t > π / 2 .

Determine os valores de c e d para os quais h é contínua.

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bora resolver mais essa juntinhos?

Bom, aqui temos uma função que é definida por 3 condições.

h t = t - 2 d 3 , s e   t < 0 ; c - d cos ⁡ t , s e   0 ≤ t ≤ π 2 ; d sen ⁡ t + 2 , s e   t > π 2 .

Como queremos os valores de c e d para que esta função seja contínua em toda a parte, precisamos verificar algumas coisas:

Os limites laterais, no valor de t que a função muda de forma, precisam ser iguais pra função ser contínua, assim cada parte dela ficará “agarradinha” uma na outra e ela será contínua.

Vai ficar mais fácil de visualizar conforme a gente for fazendo!

Passo 2

Podemos começar pensando que uma das necessidades para esta função ser contínua é

lim t → 0 ⁡ h t = h 0

Assim, analisaremos as funções que atuam pela esquerda ( t um pouco menor) e pela a direita ( t um pouco maior) de t = 0 .

Vamos começar a verificação, para isso usaremos a função para calcular o limite lateral a esquerda.

lim t → 0 - ⁡ h t = lim t → 0 - ⁡ t - 2 d 3

Então:

lim t → 0 - ⁡ t - 2 d 3 = 0 - 2 d 3 = - 2 d 1 3

O limite pelo lado direito de t = 0 deve ser o mesmo. Então:

lim t → 0 + ⁡ c - d cos ⁡ t = c - d cos ⁡ 0

= c - d

Sendo assim, temos essa primeira condição pra que os dois limites sejam iguais:

- 2 d 1 3 = c - d     ( i )

Ainda não podemos calcular c e d . Então bora analisar outro ponto, pra gente conseguir montar um sistema.

Passo 3

Repare que no entorno de t = π 2 , para que a função seja contínua também nesta região é necessário que

lim t → π 2 ⁡ f ( t ) = f π 2 .

Vamos precisar analisar de novo o limite pela esquerda e pela direita.

Pela esquerda:

lim t → π 2 - ⁡ c - d cos ⁡ t = c - d cos ⁡ π 2 = c

Pela direita:

lim t → π 2 + ⁡ d sen ⁡ t + 2 = d sen ⁡ π 2 + 2 = d + 2  

Como precisamos que o limite pela direita e o limite pela esquerda sejam iguais:

c = d + 2   ( i i )

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de a e b , só precisamos resolver o sistema formado pelas equações ( i ) e ( i i ) .

- 2 d 1 3 = c - d   c = d + 2  

Vamos então resolver o sistema!

Pela equação ( i i ) , podemos escrever que

c - d = 2

Substituindo a equação ( i i ) na equação ( i ) , temos

- 2 d 1 3 = 2

E podemos fazer:

- 2 d = 2 3

Assim:

d = - 8 2 = - 4

E como,

c = d + 2  

c = - 4 + 2

c = - 2

Assim, montamos nossa resposta:

c = - 2           e           d = - 4 .

Resposta

c = - 2           e           d = - 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1