1. Seja f x = | x | se x for racional, e f x = 0 se x for irracional. Verifique se f é contínua em x = 0 .
  2. Considere a função f x = a 1 + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 4 x , onde a 1 ,   a 2 ,   a 3 são números reais. Sabendo que f 0 = f ' 0 = f ' ' 0 = f ' ' ' 0 e f π 2 = 1 , determine a 1 ,   a 2 ,   a 3 .

Passo 1

Faaaaala, galerinha do mal! Sem pânico, essa questão é bonita. A essência é que ambas as funções nas quais f alterna tendem a 0 quando x → 0 . Contudo, observe que:

0 ≤ 0 ,   x ≤ x ⇒ 0 ≤ f x ≤ | x |

Logo, pelo Teorema do Confronto, como lim x → 0 ⁡ 0 = lim x → 0 ⁡ | x | = 0 , a desigualdade acima implica que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

E de fato f 0 = 0 , logo:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

O que configura a continuidade de f em x = 0 .

Resposta

É contínua em x = 0 .

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1