Seja g uma função contínua no intervalo [ - 1 ,   2 ] e derivável em ] - 1 ,   2 [ , que assume os valores

g - 1 = 0                 g 0 = 4                 g 1 = 2               g 2 = 2

Considere as afirmações:

I A equação g x = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] .

I I A equação g x = 2 tem exatamente uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] .

I I I A função g admite um ponto crítico no intervalo ] 1 ,   2 [ .

Pode-se dizer com certeza que:

a. todas as afirmações são falsa.

b. somente as afirmações I e I I I são verdadeiras.

c. somente as afirmações I e I I são verdadeiras.

d. todas as afirmações são verdadeiras.

e. somente a afirmação I é verdadeira.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma função contínua em um intervalo fechado e derivável no mesmo intervalo aberto que assume determinados valores. Quê que isso nos lembra?

Se você disse Teorema do Valor médio, acertou!!

Esse Teorema nos diz que dada uma função f , contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] e derivável no intervalo aberto ] a ,   b [ , então existe um número c ∈   ] a ,   b [ tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Então, vamos avaliar cada afirmativa do enunciado baseados nesse teorema. Vamos lá!

Passo 2

A primeira afirmativa nos diz que “a equação g x = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] ”. A nossa função é contínua no intervalo [ - 1 , �� 2 ] e derivável em ] - 1 ,   2 [ . O intervalo [ - 1 ,   0 ] está contido no intervalo definido pela função. Então, pelo Teorema do Valor Médio, podemos garantir a existência de pelo menos uma solução no intervalo. Portanto, é verdadeiro.

Já na segunda afirmação, ele nos diz que “A equação g x = 2 tem exatamente uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] .” Isso não é verdade, porque apenas olhando o enunciado podemos idenficar duas soluções para g x = 2 , que são dadas por g 1 = 2 e g 2 = 2 .

Por fim, temos que “A função g admite um ponto crítico no intervalo ] 1 ,   2 [ ”. Isso também é verdadeiro, porque pelo Teorema do Valor médio, garantimos a existência de g ' ( c ) e igualando essa derivada a zero, encontramos os pontos críticos da função. Portanto, há pelo menos um ponto crítico no intervalo.

Dessa forma, temos que somente as afirmações I e I I I são verdadeiras, letra ( b ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

somente as afirmações I e I I I são verdadeiras

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1